Theorem xpsxmetlem 21994

Description: Lemma for xpsxmet 21995. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsds.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsds.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsds.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsds.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsds.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsds.p	⊢ 𝑃 = (dist‘𝑇)
xpsds.m	⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
xpsds.n	⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
xpsds.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
xpsds.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
xpsxmetlem	⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsxmetlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))
4		eqid 2610	. . 3 ⊢ ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
5		eqid 2610	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
6		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) ∈ V
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8		2on 7455	. . . 4 ⊢ 2𝑜 ∈ On
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2𝑜 ∈ On)
10		fvex 6113	. . . 4 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) ∈ V
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2𝑜) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) ∈ V)
12		elpri 4145	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
13		df2o3 7460	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
14	12, 13	eleq2s 2706	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 2𝑜 → (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜))
15		xpsds.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
17		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = ∅ → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅))
18		xpsds.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
19		xpsc0 16043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘∅) = 𝑅)
21	17, 20	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑅)
22	21	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑅))
23	21	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑅))
24		xpsds.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
25	23, 24	syl6eqr 2662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑋)
26	25	sqxpeqd 5065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑋 × 𝑋))
27	22, 26	reseq12d 5318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
28		xpsds.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑋 × 𝑋))
29	27, 28	syl6eqr 2662	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑀)
30	25	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑋))
31	16, 29, 30	3eltr4d 2703	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = ∅) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
32		xpsds.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
34		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1𝑜 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜))
35		xpsds.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
36		xpsc1 16044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑊 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘1𝑜) = 𝑆)
38	34, 37	sylan9eqr 2666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘) = 𝑆)
39	38	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (dist‘𝑆))
40	38	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = (Base‘𝑆))
41		xpsds.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
42	40, 41	syl6eqr 2662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) = 𝑌)
43	42	sqxpeqd 5065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (𝑌 × 𝑌))
44	39, 43	reseq12d 5318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
45		xpsds.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((dist‘𝑆) ↾ (𝑌 × 𝑌))
46	44, 45	syl6eqr 2662	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) = 𝑁)
47	42	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))) = (∞Met‘𝑌))
48	33, 46, 47	3eltr4d 2703	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 1𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
49	31, 48	jaodan 822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = ∅ ∨ 𝑘 = 1𝑜)) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
50	14, 49	sylan2 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 2𝑜) → ((dist‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) ↾ ((Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)) × (Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
51	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 50	prdsxmet 21984	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))) ∈ (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
52		xpscfn 16042	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
53	18, 35, 52	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜)
54		dffn5 6151	. . . . 5 ⊢ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) Fn 2𝑜 ↔ ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
55	53, 54	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}) = (𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))
56	55	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))
57	56	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
58		xpsds.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
59		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
60		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
61		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})) = ((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))
62	58, 24, 41, 18, 35, 59, 60, 61	xpslem 16056	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))))
63	56	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
64	62, 63	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦})) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘)))))
65	64	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))) = (∞Met‘(Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝑘 ∈ 2𝑜 ↦ (◡({𝑅} +𝑐 {𝑆})‘𝑘))))))
66	51, 57, 65	3eltr4d 2703	1 ⊢ (𝜑 → (dist‘((Scalar‘𝑅)Xs◡({𝑅} +𝑐 {𝑆}))) ∈ (∞Met‘ran (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037  ran crn 5039   ↾ cres 5040  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441   +_𝑐 ccda 8872  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771  distcds 15777  X_scprds 15929   ×_s cxps 15989  ∞Metcxmt 19552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-xmet 19560

This theorem is referenced by:  xpsxmet  21995  xpsdsval  21996