MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsxmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsxmet 21984
Description: The product metric is an extended metric. Eliminate disjoint variable conditions from prdsxmetlem 21983. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsdsf.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsdsf.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
prdsdsf.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
prdsdsf.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
prdsdsf.s (𝜑𝑆𝑊)
prdsdsf.i (𝜑𝐼𝑋)
prdsdsf.r ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
prdsdsf.m ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
prdsxmet (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem prdsxmet
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsdsf.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 nfcv 2751 . . . . 5 𝑦𝑅
3 nfcsb1v 3515 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝑅
4 csbeq1a 3508 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑅 = 𝑦 / 𝑥𝑅)
52, 3, 4cbvmpt 4677 . . . 4 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅)
65oveq2i 6560 . . 3 (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅)) = (𝑆Xs(𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅))
71, 6eqtri 2632 . 2 𝑌 = (𝑆Xs(𝑦𝐼𝑦 / 𝑥𝑅))
8 prdsdsf.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑌)
9 eqid 2610 . 2 (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)
10 eqid 2610 . 2 ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
11 prdsdsf.d . 2 𝐷 = (dist‘𝑌)
12 prdsdsf.s . 2 (𝜑𝑆𝑊)
13 prdsdsf.i . 2 (𝜑𝐼𝑋)
14 prdsdsf.r . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑍)
15 elex 3185 . . . . 5 (𝑅𝑍𝑅 ∈ V)
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ V)
1716ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ V)
183nfel1 2765 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V
194eleq1d 2672 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 ∈ V ↔ 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V))
2018, 19rspc 3276 . . 3 (𝑦𝐼 → (∀𝑥𝐼 𝑅 ∈ V → 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V))
2117, 20mpan9 485 . 2 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦 / 𝑥𝑅 ∈ V)
22 prdsdsf.m . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
2322ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
24 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑥dist
2524, 3nffv 6110 . . . . . 6 𝑥(dist‘𝑦 / 𝑥𝑅)
26 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑥Base
2726, 3nffv 6110 . . . . . . 7 𝑥(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)
2827, 27nfxp 5066 . . . . . 6 𝑥((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
2925, 28nfres 5319 . . . . 5 𝑥((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
30 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥∞Met
3130, 27nffv 6110 . . . . 5 𝑥(∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3229, 31nfel 2763 . . . 4 𝑥((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
33 prdsdsf.e . . . . . 6 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
344fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (dist‘𝑅) = (dist‘𝑦 / 𝑥𝑅))
35 prdsdsf.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑅)
364fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3735, 36syl5eq 2656 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑉 = (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))
3837sqxpeqd 5065 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
3934, 38reseq12d 5318 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4033, 39syl5eq 2656 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝐸 = ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4137fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∞Met‘𝑉) = (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
4240, 41eleq12d 2682 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ↔ ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4332, 42rspc 3276 . . 3 (𝑦𝐼 → (∀𝑥𝐼 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) → ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))))
4423, 43mpan9 485 . 2 ((𝜑𝑦𝐼) → ((dist‘𝑦 / 𝑥𝑅) ↾ ((Base‘𝑦 / 𝑥𝑅) × (Base‘𝑦 / 𝑥𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑦 / 𝑥𝑅)))
457, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 21, 44prdsxmetlem 21983 1 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  csb 3499  cmpt 4643   × cxp 5036  cres 5040  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  Xscprds 15929  ∞Metcxmt 19552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-prds 15931  df-xmet 19560
This theorem is referenced by:  prdsmet  21985  xpsxmetlem  21994  prdsbl  22106  prdsxmslem1  22143
  Copyright terms: Public domain W3C validator