Theorem xpscfv 16045

Description: The value of the pair function at an element of 2_𝑜. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscfv	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem xpscfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 4145	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ {∅, 1𝑜} → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
2		df2o3 7460	. . . 4 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
3	1, 2	eleq2s 2706	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 2𝑜 → (𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜))
4		xpsc0 16043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
6		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅))
7		iftrue 4042	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
8	6, 7	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = ∅ → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴))
9	5, 8	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 = ∅ → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
10		xpsc1 16044	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵)
12		fveq2 6103	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜))
13		1n0 7462	. . . . . . . 8 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
14		neeq1 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → (𝐶 ≠ ∅ ↔ 1𝑜 ≠ ∅))
15	13, 14	mpbiri 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → 𝐶 ≠ ∅)
16		ifnefalse 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
18	12, 17	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 1𝑜 → ((◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵) ↔ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘1𝑜) = 𝐵))
19	11, 18	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 = 1𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
20	9, 19	jaod 394	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐶 = ∅ ∨ 𝐶 = 1𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
21	3, 20	syl5 33	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ 2𝑜 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵)))
22	21	3impia 1253	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 2𝑜) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘𝐶) = if(𝐶 = ∅, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  ^◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1o 7447  df-2o 7448  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  xpsfrn2  16053  xpslem  16056  xpsaddlem  16058  xpsvsca  16062