Theorem frgpmhm 18001

Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpmhm.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
frgpmhm.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
frgpmhm.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpmhm.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpmhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )

Assertion

Ref	Expression
frgpmhm	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥, ∼

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem frgpmhm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 7455	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 ∈ On
2		xpexg 6858	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
3	1, 2	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
4		frgpmhm.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
5	4	frmdmnd 17219	. . . 4 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑀 ∈ Mnd)
6	3, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
7		frgpmhm.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8	7	frgpgrp 17998	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
9		grpmnd 17252	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
11	6, 10	jca 553	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd))
12		frgpmhm.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑀)
13	4, 12	frmdbas 17212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
14		wrdexg 13170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
15		fvi 6165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
17	13, 16	eqtr4d 2647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
18	3, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
19	18	eleq2d 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑊 ↔ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
20	19	biimpa 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))
21		frgpmhm.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
22		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
23		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
24	7, 21, 22, 23	frgpeccl 17997	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
25	20, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → [𝑥] ∼ ∈ (Base‘𝐺))
26		frgpmhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑊 ↦ [𝑥] ∼ )
27	25, 26	fmptd 6292	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺))
28	22, 21	efger 17954	. . . . . . . 8 ⊢ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
29		ereq2 7637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ( ∼ Er 𝑊 ↔ ∼ Er ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
31	28, 30	mpbiri 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∼ Er 𝑊)
32	31	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ∼ Er 𝑊)
33		fvex 6113	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑀) ∈ V
34	12, 33	eqeltri 2684	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → 𝑊 ∈ V)
36	32, 35, 26	divsfval 16030	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
37		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
38	4, 12, 37	frmdadd 17215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
39	38	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎(+g‘𝑀)𝑏) = (𝑎 ++ 𝑏))
40	39	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = (𝐹‘(𝑎 ++ 𝑏)))
41	32, 35, 26	divsfval 16030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑎) = [𝑎] ∼ )
42	32, 35, 26	divsfval 16030	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑏) = [𝑏] ∼ )
43	41, 42	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ))
44	18	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝑊 ↔ 𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
45	18	eleq2d 2673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑏 ∈ 𝑊 ↔ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
46	44, 45	anbi12d 743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊) ↔ (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)))))
47	46	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))))
48		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
49	22, 7, 21, 48	frgpadd 17999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ 𝑏 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
50	47, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝐺)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
51	43, 50	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) = [(𝑎 ++ 𝑏)] ∼ )
52	36, 40, 51	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ 𝑊 ∧ 𝑏 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
53	52	ralrimivva 2954	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)))
54	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
55	31, 54, 26	divsfval 16030	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = [∅] ∼ )
56	7, 21	frgp0 17996	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] ∼ = (0g‘𝐺)))
57	56	simprd 478	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → [∅] ∼ = (0g‘𝐺))
58	55, 57	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))
59	27, 53, 58	3jca 1235	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺)))
60	4	frmd0 17220	. . 3 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
61		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
62	12, 23, 37, 48, 60, 61	ismhm 17160	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐺 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:𝑊⟶(Base‘𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑊 ∀𝑏 ∈ 𝑊 (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑀)𝑏)) = ((𝐹‘𝑎)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑏)) ∧ (𝐹‘∅) = (0g‘𝐺))))
63	11, 59, 62	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2_𝑜c2o 7441   Er wer 7626  [cec 7627  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  Mndcmnd 17117   MndHom cmhm 17156  freeMndcfrmd 17207  Grpcgrp 17245   ~_FG cefg 17942  freeGrpcfrgp 17943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-frmd 17209  df-grp 17248  df-efg 17945  df-frgp 17946

This theorem is referenced by:  frgpup3lem  18013