Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpmhm Structured version   Unicode version

Theorem frgpmhm 17350
 Description: The "natural map" from words of the free monoid to their cosets in the free group is a surjective monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpmhm.m freeMnd
frgpmhm.w
frgpmhm.g freeGrp
frgpmhm.r ~FG
frgpmhm.f
Assertion
Ref Expression
frgpmhm MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem frgpmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2on 7198 . . . . 5
2 xpexg 6607 . . . . 5
31, 2mpan2 675 . . . 4
4 frgpmhm.m . . . . 5 freeMnd
54frmdmnd 16594 . . . 4
63, 5syl 17 . . 3
7 frgpmhm.g . . . . 5 freeGrp
87frgpgrp 17347 . . . 4
9 grpmnd 16629 . . . 4
108, 9syl 17 . . 3
116, 10jca 534 . 2
12 frgpmhm.w . . . . . . . . . 10
134, 12frmdbas 16587 . . . . . . . . 9 Word
14 wrdexg 12669 . . . . . . . . . 10 Word
15 fvi 5938 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 Word Word
1713, 16eqtr4d 2473 . . . . . . . 8 Word
183, 17syl 17 . . . . . . 7 Word
1918eleq2d 2499 . . . . . 6 Word
2019biimpa 486 . . . . 5 Word
21 frgpmhm.r . . . . . 6 ~FG
22 eqid 2429 . . . . . 6 Word Word
23 eqid 2429 . . . . . 6
247, 21, 22, 23frgpeccl 17346 . . . . 5 Word
2520, 24syl 17 . . . 4
26 frgpmhm.f . . . 4
2725, 26fmptd 6061 . . 3
2822, 21efger 17303 . . . . . . . 8 Word
29 ereq2 7379 . . . . . . . . 9 Word Word
3018, 29syl 17 . . . . . . . 8 Word
3128, 30mpbiri 236 . . . . . . 7
3231adantr 466 . . . . . 6
33 fvex 5891 . . . . . . . 8
3412, 33eqeltri 2513 . . . . . . 7
3534a1i 11 . . . . . 6
3632, 35, 26divsfval 15404 . . . . 5 ++ ++
37 eqid 2429 . . . . . . . 8
384, 12, 37frmdadd 16590 . . . . . . 7 ++
3938adantl 467 . . . . . 6 ++
4039fveq2d 5885 . . . . 5 ++
4132, 35, 26divsfval 15404 . . . . . . 7
4232, 35, 26divsfval 15404 . . . . . . 7
4341, 42oveq12d 6323 . . . . . 6
4418eleq2d 2499 . . . . . . . . 9 Word
4518eleq2d 2499 . . . . . . . . 9 Word
4644, 45anbi12d 715 . . . . . . . 8 Word Word
4746biimpa 486 . . . . . . 7 Word Word
48 eqid 2429 . . . . . . . 8
4922, 7, 21, 48frgpadd 17348 . . . . . . 7 Word Word ++
5047, 49syl 17 . . . . . 6 ++
5143, 50eqtrd 2470 . . . . 5 ++
5236, 40, 513eqtr4d 2480 . . . 4
5352ralrimivva 2853 . . 3
5434a1i 11 . . . . 5
5531, 54, 26divsfval 15404 . . . 4
567, 21frgp0 17345 . . . . 5
5756simprd 464 . . . 4
5855, 57eqtrd 2470 . . 3
5927, 53, 583jca 1185 . 2
604frmd0 16595 . . 3
61 eqid 2429 . . 3
6212, 23, 37, 48, 60, 61ismhm 16535 . 2 MndHom
6311, 59, 62sylanbrc 668 1 MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cvv 3087  c0 3767   cmpt 4484   cid 4764   cxp 4852  con0 5442  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  c2o 7184   wer 7368  cec 7369  Word cword 12643   ++ cconcat 12645  cbs 15084   cplusg 15152  c0g 15297  cmnd 16486   MndHom cmhm 16531  freeMndcfrmd 16582  cgrp 16620   ~FG cefg 17291  freeGrpcfrgp 17292 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-ot 4011  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-lsw 12652  df-concat 12653  df-s1 12654  df-substr 12655  df-splice 12656  df-reverse 12657  df-s2 12929  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-0g 15299  df-imas 15365  df-qus 15366  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-frmd 16584  df-grp 16624  df-efg 17294  df-frgp 17295 This theorem is referenced by:  frgpup3lem  17362
 Copyright terms: Public domain W3C validator