Theorem frgpadd 17999

Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpadd.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpadd.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpadd.n	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgpadd	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Proof of Theorem frgpadd

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ 𝑊)
2		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		frgpadd.w	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
4	3	efgrcl 17951	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
6	5	simpld 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7		frgpadd.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
9		frgpadd.r	. . . . . 6 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
10	7, 8, 9	frgpval 17994	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
11	6, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ∼ ))
12	5	simprd 478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
13		2on 7455	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ On
14		xpexg 6858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
15	6, 13, 14	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
17	8, 16	frmdbas 17212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
19	12, 18	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
20	3, 9	efger 17954	. . . . 5 ⊢ ∼ Er 𝑊
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∼ Er 𝑊)
22	8	frmdmnd 17219	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
24		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
25	7, 8, 9, 24	frgpcpbl 17995	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑))
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑎 ∼ 𝑏 ∧ 𝑐 ∼ 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) ∼ (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑)))
27	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
28		simprl 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ 𝑊)
29	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
30	28, 29	eleqtrd 2690	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
31		simprr 792	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ 𝑊)
32	31, 29	eleqtrd 2690	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
33	16, 24	mndcl 17124	. . . . . 6 ⊢ (((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
35	34, 29	eleqtrrd 2691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝑏 ∈ 𝑊 ∧ 𝑑 ∈ 𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ 𝑊)
36		frgpadd.n	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
37	11, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36	qusaddval 16036	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] ∼ )
38	1, 2, 37	mpd3an23 1418	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] ∼ )
39	1, 19	eleqtrd 2690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
40	2, 19	eleqtrd 2690	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
41	8, 16, 24	frmdadd 17215	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
42	39, 40, 41	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
43	42	eceq1d 7670	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] ∼ = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )
44	38, 43	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ([𝐴] ∼ + [𝐵] ∼ ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   I cid 4948   × cxp 5036  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2_𝑜c2o 7441   Er wer 7626  [cec 7627  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   /_s cqus 15988  Mndcmnd 17117  freeMndcfrmd 17207   ~_FG cefg 17942  freeGrpcfrgp 17943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-frmd 17209  df-efg 17945  df-frgp 17946

This theorem is referenced by:  frgpinv  18000  frgpmhm  18001  frgpup1  18011  frgpnabllem1  18099