Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Unicode version

 Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3
2 simpr 461 . . 3
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 Word
43efgrcl 16607 . . . . . . 7 Word
54adantr 465 . . . . . 6 Word
65simpld 459 . . . . 5
7 frgpadd.g . . . . . 6 freeGrp
8 eqid 2443 . . . . . 6 freeMnd freeMnd
9 frgpadd.r . . . . . 6 ~FG
107, 8, 9frgpval 16650 . . . . 5 freeMnd s
116, 10syl 16 . . . 4 freeMnd s
125simprd 463 . . . . 5 Word
13 2on 7140 . . . . . . 7
14 xpexg 6587 . . . . . . 7
156, 13, 14sylancl 662 . . . . . 6
16 eqid 2443 . . . . . . 7 freeMnd freeMnd
178, 16frmdbas 15894 . . . . . 6 freeMnd Word
1815, 17syl 16 . . . . 5 freeMnd Word
1912, 18eqtr4d 2487 . . . 4 freeMnd
203, 9efger 16610 . . . . 5
2120a1i 11 . . . 4
228frmdmnd 15901 . . . . 5 freeMnd
2315, 22syl 16 . . . 4 freeMnd
24 eqid 2443 . . . . . 6 freeMnd freeMnd
257, 8, 9, 24frgpcpbl 16651 . . . . 5 freeMnd freeMnd
2625a1i 11 . . . 4 freeMnd freeMnd
2723adantr 465 . . . . . 6 freeMnd
28 simprl 756 . . . . . . 7
2919adantr 465 . . . . . . 7 freeMnd
3028, 29eleqtrd 2533 . . . . . 6 freeMnd
31 simprr 757 . . . . . . 7
3231, 29eleqtrd 2533 . . . . . 6 freeMnd
3316, 24mndcl 15803 . . . . . 6 freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd freeMnd
3427, 30, 32, 33syl3anc 1229 . . . . 5 freeMnd freeMnd
3534, 29eleqtrrd 2534 . . . 4 freeMnd
36 frgpadd.n . . . 4
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 14827 . . 3 freeMnd
381, 2, 37mpd3an23 1327 . 2 freeMnd
391, 19eleqtrd 2533 . . . 4 freeMnd
402, 19eleqtrd 2533 . . . 4 freeMnd
418, 16, 24frmdadd 15897 . . . 4 freeMnd freeMnd freeMnd concat
4239, 40, 41syl2anc 661 . . 3 freeMnd concat
4342eceq1d 7350 . 2 freeMnd concat
4438, 43eqtrd 2484 1 concat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   class class class wbr 4437   cid 4780  con0 4868   cxp 4987  cfv 5578  (class class class)co 6281  c2o 7126   wer 7310  cec 7311  Word cword 12513   concat cconcat 12515  cbs 14509   cplusg 14574   s cqus 14779  cmnd 15793  freeMndcfrmd 15889   ~FG cefg 16598  freeGrpcfrgp 16599 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-ot 4023  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521  df-concat 12523  df-s1 12524  df-substr 12525  df-splice 12526  df-s2 12792  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-imas 14782  df-qus 14783  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-frmd 15891  df-efg 16601  df-frgp 16602 This theorem is referenced by:  frgpinv  16656  frgpmhm  16657  frgpup1  16667  frgpnabllem1  16751
 Copyright terms: Public domain W3C validator