Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpeccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpeccl 17997
 Description: Closure of the quotient map in a free group. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgp0.m 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgp0.r = ( ~FG𝐼)
frgpeccl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpeccl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpeccl (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)

Proof of Theorem frgpeccl
StepHypRef Expression
1 frgp0.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
2 fvex 6113 . . . 4 ( ~FG𝐼) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . 3 ∈ V
43ecelqsi 7690 . 2 (𝑋𝑊 → [𝑋] ∈ (𝑊 / ))
5 frgpeccl.w . . . . . . 7 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
65efgrcl 17951 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
76simpld 474 . . . . 5 (𝑋𝑊𝐼 ∈ V)
8 frgp0.m . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
9 eqid 2610 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
108, 9, 1frgpval 17994 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
117, 10syl 17 . . . 4 (𝑋𝑊𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
126simprd 478 . . . . 5 (𝑋𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
13 2on 7455 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
14 xpexg 6858 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
157, 13, 14sylancl 693 . . . . . 6 (𝑋𝑊 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
179, 16frmdbas 17212 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1815, 17syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑊 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1912, 18eqtr4d 2647 . . . 4 (𝑋𝑊𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
203a1i 11 . . . 4 (𝑋𝑊 ∈ V)
21 fvex 6113 . . . . 5 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V
2221a1i 11 . . . 4 (𝑋𝑊 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
2311, 19, 20, 22qusbas 16028 . . 3 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
24 frgpeccl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2523, 24syl6eqr 2662 . 2 (𝑋𝑊 → (𝑊 / ) = 𝐵)
264, 25eleqtrd 2690 1 (𝑋𝑊 → [𝑋] 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   I cid 4948   × cxp 5036  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2𝑜c2o 7441  [cec 7627   / cqs 7628  Word cword 13146  Basecbs 15695   /s cqus 15988  freeMndcfrmd 17207   ~FG cefg 17942  freeGrpcfrgp 17943 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-imas 15991  df-qus 15992  df-frmd 17209  df-frgp 17946 This theorem is referenced by:  frgpinv  18000  frgpmhm  18001  vrgpf  18004  frgpup3lem  18013
 Copyright terms: Public domain W3C validator