Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmd0 17220
 Description: The identity of the free monoid is the empty word. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmd0 ∅ = (0g𝑀)

Proof of Theorem frmd0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2610 . . 3 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2610 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 wrd0 13185 . . . 4 ∅ ∈ Word 𝐼
5 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
65, 1frmdbas 17212 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
74, 6syl5eleqr 2695 . . 3 (𝐼 ∈ V → ∅ ∈ (Base‘𝑀))
85, 1, 3frmdadd 17215 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
97, 8sylan 487 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = (∅ ++ 𝑥))
105, 1frmdelbas 17213 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥 ∈ Word 𝐼)
12 ccatlid 13222 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅ ++ 𝑥) = 𝑥)
149, 13eqtrd 2644 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∅(+g𝑀)𝑥) = 𝑥)
155, 1, 3frmdadd 17215 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
1615ancoms 468 . . . . 5 ((∅ ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
177, 16sylan 487 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = (𝑥 ++ ∅))
18 ccatrid 13223 . . . . 5 (𝑥 ∈ Word 𝐼 → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
1911, 18syl 17 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 ++ ∅) = 𝑥)
2017, 19eqtrd 2644 . . 3 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)∅) = 𝑥)
211, 2, 3, 7, 14, 20ismgmid2 17090 . 2 (𝐼 ∈ V → ∅ = (0g𝑀))
22 fvprc 6097 . . . . 5 𝐼 ∈ V → (freeMnd‘𝐼) = ∅)
235, 22syl5eq 2656 . . . 4 𝐼 ∈ V → 𝑀 = ∅)
2423fveq2d 6107 . . 3 𝐼 ∈ V → (0g𝑀) = (0g‘∅))
25 0g0 17086 . . 3 ∅ = (0g‘∅)
2624, 25syl6reqr 2663 . 2 𝐼 ∈ V → ∅ = (0g𝑀))
2721, 26pm2.61i 175 1 ∅ = (0g𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  freeMndcfrmd 17207 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-frmd 17209 This theorem is referenced by:  frmdsssubm  17221  frmdgsum  17222  frmdup1  17224  frgpmhm  18001  mrsub0  30667  elmrsubrn  30671
 Copyright terms: Public domain W3C validator