Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climshft2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climshft2 14161
 Description: A shifted function converges iff the original function converges. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climshft2.3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
climshft2.5 (𝜑𝐹𝑊)
climshft2.6 (𝜑𝐺𝑋)
climshft2.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climshft2 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climshft2
StepHypRef Expression
1 climshft2.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ovex 6577 . . . 4 (𝐺 shift -𝐾) ∈ V
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐺 shift -𝐾) ∈ V)
4 climshft2.5 . . 3 (𝜑𝐹𝑊)
5 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 climshft2.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
76zcnd 11359 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
8 eluzelz 11573 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
98, 1eleq2s 2706 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℤ)
109zcnd 11359 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ ℂ)
11 fvex 6113 . . . . . . 7 ( I ‘𝐺) ∈ V
1211shftval4 13665 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
137, 10, 12syl2an 493 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)))
14 climshft2.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝑋)
15 fvi 6165 . . . . . . . . 9 (𝐺𝑋 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
1817oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺) shift -𝐾) = (𝐺 shift -𝐾))
1918fveq1d 6105 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((( I ‘𝐺) shift -𝐾)‘𝑘) = ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘))
20 addcom 10101 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
217, 10, 20syl2an 493 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
2217, 21fveq12d 6109 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (( I ‘𝐺)‘(𝐾 + 𝑘)) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
2313, 19, 223eqtr3d 2652 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)))
24 climshft2.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝑘 + 𝐾)) = (𝐹𝑘))
2523, 24eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺 shift -𝐾)‘𝑘) = (𝐹𝑘))
261, 3, 4, 5, 25climeq 14146 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
276znegcld 11360 . . 3 (𝜑 → -𝐾 ∈ ℤ)
28 climshft 14155 . . 3 ((-𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐺𝑋) → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
2927, 14, 28syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ((𝐺 shift -𝐾) ⇝ 𝐴𝐺𝐴))
3026, 29bitr3d 269 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   I cid 4948  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818  -cneg 10146  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563   shift cshi 13654   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-shft 13655  df-clim 14067 This theorem is referenced by:  isercoll2  14247  divcnvshft  14426  trireciplem  14433  divcnvlin  30871
 Copyright terms: Public domain W3C validator