Theorem ply1plusgfvi 19433

Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ply1plusgfvi	⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Proof of Theorem ply1plusgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6165	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2	1	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘𝑅))
3	2	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
4		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Poly1‘∅) = (Poly1‘∅)
5		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 mPoly ∅) = (1𝑜 mPoly ∅)
6		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(Poly1‘∅))
7	4, 5, 6	ply1plusg 19416	. . . . 5 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
8		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 mPwSer ∅) = (1𝑜 mPwSer ∅)
9		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly ∅))
10	5, 8, 9	mplplusg 19411	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
11		base0 15740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
12		psr1baslem 19376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
13		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
14		1on 7454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ On
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 1𝑜 ∈ On)
16	8, 11, 12, 13, 15	psrbas 19199	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)))
17	16	trud 1484	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
18		0nn0 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
19	18	fconst6 6008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0
20		nn0ex 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℕ0 ∈ V
21	14	elexi 3186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ V
22	20, 21	elmap 7772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {0}):1𝑜⟶ℕ0)
23	19, 22	mpbir 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)
24		ne0i 3880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1𝑜 × {0}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) → (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ≠ ∅)
25		map0b 7782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) = ∅)
26	23, 24, 25	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ↑𝑚 (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)) = ∅
27	17, 26	eqtr2i 2633	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘(1𝑜 mPwSer ∅))
28		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘∅) = (+g‘∅)
29		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅))
30	8, 27, 28, 29	psrplusg 19202	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPwSer ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅))
31		xp0 5471	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
32	31	reseq2i 5314	. . . . . 6 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ (∅ × ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
33	10, 30, 32	3eqtri 2636	. . . . 5 ⊢ (+g‘(1𝑜 mPoly ∅)) = ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅)
34		res0 5321	. . . . . 6 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = ∅
35		df-plusg 15781	. . . . . . 7 ⊢ +g = Slot 2
36	35	str0 15739	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
37	34, 36	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ( ∘𝑓 (+g‘∅) ↾ ∅) = (+g‘∅)
38	7, 33, 37	3eqtri 2636	. . . 4 ⊢ (+g‘(Poly1‘∅)) = (+g‘∅)
39		fvprc 6097	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
40	39	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘( I ‘𝑅)) = (Poly1‘∅))
41	40	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘∅)))
42		fvprc 6097	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
43	42	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘∅))
44	38, 41, 43	3eqtr4a 2670	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅)))
45	3, 44	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅))) = (+g‘(Poly1‘𝑅))
46	45	eqcomi 2619	1 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝑅)) = (+g‘(Poly1‘( I ‘𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   I cid 4948   × cxp 5036   ↾ cres 5040  Oncon0 5640  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793  1_𝑜c1o 7440   ↑_𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   mPwSer cmps 19172   mPoly cmpl 19174  Poly₁cpl1 19368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-tset 15787  df-ple 15788  df-psr 19177  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-ply1 19373

This theorem is referenced by: (None)