MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws1 Structured version   Unicode version

Theorem gsumws1 15839
Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsumws1  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )

Proof of Theorem gsumws1
StepHypRef Expression
1 s1val 12574 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  <" S ">  =  { <. 0 ,  S >. } )
21oveq2d 6300 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  ( G  gsumg  {
<. 0 ,  S >. } ) )
3 gsumwcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 elfvdm 5892 . . . 4  |-  ( S  e.  ( Base `  G
)  ->  G  e.  dom  Base )
65, 3eleq2s 2575 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  G  e.  dom  Base )
7 0nn0 10810 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
8 nn0uz 11116 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
97, 8eleqtri 2553 . . . 4  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
109a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
11 0z 10875 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
12 f1osng 5854 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  S  e.  B )  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S } )
1311, 12mpan 670 . . . . . 6  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S } )
14 f1of 5816 . . . . . 6  |-  ( {
<. 0 ,  S >. } : { 0 } -1-1-onto-> { S }  ->  {
<. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S }
)
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S } )
16 snssi 4171 . . . . 5  |-  ( S  e.  B  ->  { S }  C_  B )
17 fss 5739 . . . . 5  |-  ( ( { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> { S }  /\  { S }  C_  B )  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
19 fzsn 11725 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
2011, 19ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
2120feq2i 5724 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  S >. } : ( 0 ... 0 ) --> B  <->  { <. 0 ,  S >. } : { 0 } --> B )
2218, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  { <. 0 ,  S >. } : ( 0 ... 0 ) --> B )
233, 4, 6, 10, 22gsumval2 15835 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
{ <. 0 ,  S >. } )  =  (  seq 0 ( ( +g  `  G ) ,  { <. 0 ,  S >. } ) ` 
0 ) )
24 fvsng 6095 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  S  e.  B )  ->  ( { <. 0 ,  S >. } `  0
)  =  S )
2511, 24mpan 670 . . 3  |-  ( S  e.  B  ->  ( { <. 0 ,  S >. } `  0 )  =  S )
2611, 25seq1i 12089 . 2  |-  ( S  e.  B  ->  (  seq 0 ( ( +g  `  G ) ,  { <. 0 ,  S >. } ) `  0 )  =  S )
272, 23, 263eqtrd 2512 1  |-  ( S  e.  B  ->  ( G  gsumg 
<" S "> )  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   dom cdm 4999   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   0cc0 9492   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672    seqcseq 12075   <"cs1 12503   Basecbs 14490   +g cplusg 14555    gsumg cgsu 14696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-s1 12511  df-0g 14697  df-gsum 14698
This theorem is referenced by:  gsumws2  15842  gsumccatsn  15843  gsumwspan  15846  frmdgsum  15862  frmdup2  15865  gsumwrev  16206  psgnunilem5  16325  psgnpmtr  16341  frgpup2  16600
  Copyright terms: Public domain W3C validator