Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | lhop1.c |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) limℂ 𝐴)) |
2 | | simpr 476 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈
ℝ+) |
3 | 2 | rphalfcld 11760 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈
ℝ+) |
4 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑒 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) |
5 | 4 | imbi2d 329 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑒 = (𝑥 / 2) → (((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))) |
6 | 5 | rexralbidv 3040 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑒 = (𝑥 / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))) |
7 | 6 | rspcv 3278 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+
→ (∀𝑒 ∈
ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))) |
8 | 3, 7 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) →
(∀𝑒 ∈
ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))) |
9 | | rabid 3095 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} ↔ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑)) |
10 | | eliooord 12104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐵)) |
11 | 10 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝐵)) |
12 | 11 | simprd 478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 < 𝐵) |
13 | 12 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < (𝑑 + 𝐴) ↔ (𝑣 < 𝐵 ∧ 𝑣 < (𝑑 + 𝐴)))) |
14 | | ioossre 12106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ |
15 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
16 | 14, 15 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ) |
17 | | lhop1.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
18 | 17 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
19 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ 𝑑 ∈
ℝ+) |
20 | 19 | rpred 11748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ 𝑑 ∈
ℝ) |
21 | 20 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ) |
22 | 16, 18, 21 | ltsubaddd 10502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣 − 𝐴) < 𝑑 ↔ 𝑣 < (𝑑 + 𝐴))) |
23 | 16 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑣 ∈ ℝ*) |
24 | | lhop1.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈
ℝ*) |
25 | 24 | ad3antrrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
26 | 17 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
27 | 20, 26 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ (𝑑 + 𝐴) ∈
ℝ) |
28 | 27 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ (𝑑 + 𝐴) ∈
ℝ*) |
29 | 28 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑑 + 𝐴) ∈
ℝ*) |
30 | | xrltmin 11887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵 ∧ 𝑣 < (𝑑 + 𝐴)))) |
31 | 23, 25, 29, 30 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 < 𝐵 ∧ 𝑣 < (𝑑 + 𝐴)))) |
32 | 13, 22, 31 | 3bitr4rd 300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝑣 − 𝐴) < 𝑑)) |
33 | 18 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
34 | 25, 29 | ifcld 4081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈
ℝ*) |
35 | 11 | simpld 474 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑣) |
36 | | elioo5 12102 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*)
→ (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (𝐴 < 𝑣 ∧ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) |
37 | 36 | baibd 946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*)
∧ 𝐴 < 𝑣) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) |
38 | 33, 34, 23, 35, 37 | syl31anc 1321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ 𝑣 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) |
39 | 18, 16, 35 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝑣) |
40 | 18, 16, 39 | abssubge0d 14018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝑣 − 𝐴)) = (𝑣 − 𝐴)) |
41 | 40 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑣 − 𝐴) < 𝑑)) |
42 | 32, 38, 41 | 3bitr4d 299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑)) |
43 | 42 | rabbi2dva 3783 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑}) |
44 | 24 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ 𝐵 ∈
ℝ*) |
45 | | xrmin1 11882 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
→ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵) |
46 | 44, 28, 45 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵) |
47 | | iooss2 12082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵) → (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
48 | 44, 46, 47 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵)) |
49 | | sseqin2 3779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) |
50 | 48, 49 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ ((𝐴(,)𝐵) ∩ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) |
51 | 43, 50 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) |
52 | 51 | eleq2d 2673 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ (𝑣 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) |
53 | 9, 52 | syl5bbr 273 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) ↔ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) |
54 | | lbioo 12077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ¬
𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) |
55 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))) |
56 | 54, 55 | mtbiri 316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 = 𝐴 → ¬ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) |
57 | 56 | necon2ai 2811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑦 ≠ 𝐴) |
58 | 57 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑))) |
59 | 58 | bicomd 212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑)) |
60 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦)) |
61 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) |
62 | 60, 61 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) |
63 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) |
64 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V |
65 | 62, 63, 64 | fvmpt3i 6196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦))) |
66 | 65 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶) = ((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) |
67 | 66 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) = (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶))) |
68 | 67 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) |
69 | 59, 68 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)))) |
70 | 69 | ralbiia 2962 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∀𝑦 ∈
(𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) |
71 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 − 𝐴) = (𝑦 − 𝐴)) |
72 | 71 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑣 = 𝑦 → (abs‘(𝑣 − 𝐴)) = (abs‘(𝑦 − 𝐴))) |
73 | 72 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑)) |
74 | 73 | ralrab 3335 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∀𝑦 ∈
{𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑 → (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) |
75 | 70, 74 | bitr4i 266 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(∀𝑦 ∈
(𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) |
76 | 51 | adantrr 749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} = (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) |
77 | 76 | raleqdv 3121 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) |
78 | 17 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈ ℝ) |
79 | 24 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
80 | | lhop1.l |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
81 | 80 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < 𝐵) |
82 | | lhop1.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ) |
83 | 82 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ) |
84 | | lhop1.g |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ) |
85 | 84 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ) |
86 | | lhop1.if |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) |
87 | 86 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) |
88 | | lhop1.ig |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)) |
89 | 88 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)) |
90 | | lhop1.f0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴)) |
91 | 90 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐹 limℂ 𝐴)) |
92 | | lhop1.g0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐴)) |
93 | 92 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 0 ∈ (𝐺 limℂ 𝐴)) |
94 | | lhop1.gn0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran 𝐺) |
95 | 94 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺) |
96 | | lhop1.gd0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran
(ℝ D 𝐺)) |
97 | 96 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D
𝐺)) |
98 | 1 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) limℂ 𝐴)) |
99 | 3 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑥 / 2) ∈
ℝ+) |
100 | 78 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 ∈
ℝ*) |
101 | | simprll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ+) |
102 | 101 | rpred 11748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ) |
103 | 102, 78 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ) |
104 | | iocssre 12124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ) |
105 | 100, 103,
104 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ⊆ ℝ) |
106 | 79 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐵 ∈
ℝ*) |
107 | 102 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝑑 ∈ ℝ) |
108 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ) |
109 | 107, 108 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ) |
110 | 109 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) ∧ ¬ 𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴)) → (𝑑 + 𝐴) ∈
ℝ*) |
111 | 106, 110 | ifclda 4070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈
ℝ*) |
112 | 78, 101 | ltaddrp2d 11782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < (𝑑 + 𝐴)) |
113 | 103 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝑑 + 𝐴) ∈
ℝ*) |
114 | | xrltmin 11887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 𝐵 ∈
ℝ* ∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < (𝑑 + 𝐴)))) |
115 | 100, 79, 113, 114 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐴 < (𝑑 + 𝐴)))) |
116 | 81, 112, 115 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) |
117 | | xrmin2 11883 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
→ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴)) |
118 | 79, 113, 117 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴)) |
119 | | elioc1 12088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ (𝑑 + 𝐴) ∈ ℝ*)
→ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴)))) |
120 | 100, 113,
119 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴)) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∧ if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ (𝑑 + 𝐴)))) |
121 | 111, 116,
118, 120 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ (𝐴(,](𝑑 + 𝐴))) |
122 | 105, 121 | sseldd 3569 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ∈ ℝ) |
123 | 79, 113, 45 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)) ≤ 𝐵) |
124 | | simprlr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) |
125 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) |
126 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐴 + (𝑟 / 2)) = (𝐴 + (𝑟 / 2)) |
127 | 78, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 98, 99, 122, 123, 124, 125, 126 | lhop1lem 23580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < (2 · (𝑥 / 2))) |
128 | 2 | rpcnd 11750 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈
ℂ) |
129 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈
ℂ) |
130 | | 2ne0 10990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 2 ≠
0 |
131 | 130 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠
0) |
132 | 128, 129,
131 | divcan2d 10682 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2
· (𝑥 / 2)) = 𝑥) |
133 | 132 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (2 · (𝑥 / 2)) = 𝑥) |
134 | 127, 133 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2))) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥) |
135 | 134 | expr 641 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴)))(abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)) |
136 | 77, 135 | sylbid 229 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ {𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∣ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑} (abs‘((((ℝ D 𝐹)‘𝑦) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑦)) − 𝐶)) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)) |
137 | 75, 136 | syl5bi 231 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)) |
138 | 137 | expr 641 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ (𝑣 ∈ (𝐴(,)if(𝐵 ≤ (𝑑 + 𝐴), 𝐵, (𝑑 + 𝐴))) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))) |
139 | 53, 138 | sylbid 229 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ ((𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))) |
140 | 139 | expdimp 452 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))) |
141 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 = 𝑣 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑣)) |
142 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 = 𝑣 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝑣)) |
143 | 141, 142 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)) = ((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣))) |
144 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) |
145 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)) ∈ V |
146 | 143, 144,
145 | fvmpt3i 6196 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) = ((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣))) |
147 | 146 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶) = (((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) |
148 | 147 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) = (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶))) |
149 | 148 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥)) |
150 | 149 | imbi2d 329 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))) |
151 | 150 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹‘𝑣) / (𝐺‘𝑣)) − 𝐶)) < 𝑥))) |
152 | 140, 151 | sylibrd 248 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))) |
153 | 152 | adantld 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))) |
154 | 153 | com23 84 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
∧ 𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))) |
155 | 154 | ralrimdva 2952 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+)
→ (∀𝑦 ∈
(𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))) |
156 | 155 | reximdva 3000 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) →
(∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))) |
157 | 8, 156 | syld 46 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) →
(∀𝑒 ∈
ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))) |
158 | 157 | ralrimdva 2952 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+
∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥))) |
159 | 158 | anim2d 587 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒)) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))) |
160 | | dvf 23477 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℝ
D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ |
161 | 86 | feq2d 5944 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ
D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)) |
162 | 160, 161 | mpbii 222 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
163 | 162 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ) |
164 | | dvf 23477 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℝ
D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ |
165 | 88 | feq2d 5944 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ
D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)) |
166 | 164, 165 | mpbii 222 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
167 | 166 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ℂ) |
168 | 96 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D
𝐺)) |
169 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ℝ
D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵)) |
170 | 166, 169 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵)) |
171 | | fnfvelrn 6264 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((ℝ D 𝐺) Fn
(𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺)) |
172 | 170, 171 | sylan 487 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺)) |
173 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ ran (ℝ D 𝐺) ↔ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))) |
174 | 172, 173 | syl5ibcom 234 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = 0 → 0 ∈ ran (ℝ D 𝐺))) |
175 | 174 | necon3bd 2796 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran (ℝ D
𝐺) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0)) |
176 | 168, 175 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ≠ 0) |
177 | 163, 167,
176 | divcld 10680 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ ℂ) |
178 | 177, 63 | fmptd 6292 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
179 | | ax-resscn 9872 |
. . . . . 6
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
180 | 14, 179 | sstri 3577 |
. . . . 5
⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ |
181 | 180 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) |
182 | 17 | recnd 9947 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
183 | 178, 181,
182 | ellimc3 23449 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) limℂ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑦 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))‘𝑦) − 𝐶)) < 𝑒)))) |
184 | 82 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) |
185 | 184 | recnd 9947 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) |
186 | 84 | ffvelrnda 6267 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) |
187 | 186 | recnd 9947 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ) |
188 | 94 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 ∈ ran 𝐺) |
189 | | ffn 5958 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐺:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵)) |
190 | 84, 189 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵)) |
191 | | fnfvelrn 6264 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐺 Fn (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ran 𝐺) |
192 | 190, 191 | sylan 487 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ran 𝐺) |
193 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐺‘𝑧) = 0 → ((𝐺‘𝑧) ∈ ran 𝐺 ↔ 0 ∈ ran 𝐺)) |
194 | 192, 193 | syl5ibcom 234 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝑧) = 0 → 0 ∈ ran 𝐺)) |
195 | 194 | necon3bd 2796 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (¬ 0 ∈ ran 𝐺 → (𝐺‘𝑧) ≠ 0)) |
196 | 188, 195 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0) |
197 | 185, 187,
196 | divcld 10680 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ) |
198 | 197, 144 | fmptd 6292 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) |
199 | 198, 181,
182 | ellimc3 23449 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) limℂ 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑣 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑣 ≠ 𝐴 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐴)) < 𝑑) → (abs‘(((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧)))‘𝑣) − 𝐶)) < 𝑥)))) |
200 | 159, 183,
199 | 3imtr4d 282 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((ℝ D 𝐹)‘𝑧) / ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))) limℂ 𝐴) → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) limℂ 𝐴))) |
201 | 1, 200 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘𝑧) / (𝐺‘𝑧))) limℂ 𝐴)) |