Theorem rphalfcld 11760

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 11734	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  nnesq  12850  rlimuni  14129  climuni  14131  reccn2  14175  iseralt  14263  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  ege2le3  14659  rpcoshcl  14726  sqr2irrlem  14816  4sqlem7  15486  ssblex  22043  methaus  22135  met2ndci  22137  metustexhalf  22171  cfilucfil  22174  nlmvscnlem2  22299  nlmvscnlem1  22300  nrginvrcnlem  22305  reperflem  22429  icccmplem2  22434  metdcnlem  22447  metnrmlem2  22471  metnrmlem3  22472  ipcnlem2  22851  ipcnlem1  22852  minveclem3  23008  ovollb2lem  23063  ovolunlem2  23073  uniioombl  23163  itg2cnlem2  23335  itg2cn  23336  lhop1lem  23580  lhop1  23581  aaliou2b  23900  ulmcn  23957  pserdvlem1  23985  pserdv  23987  cxpcn3lem  24288  lgamgulmlem3  24557  lgamucov  24564  ftalem2  24600  bposlem7  24815  bposlem9  24817  lgsquadlem2  24906  chebbnd1lem2  24959  pntibndlem3  25081  pntibnd  25082  pntlemr  25091  lt2addrd  28903  tpr2rico  29286  knoppndvlem17  31689  tan2h  32571  mblfinlem4  32619  sstotbnd2  32743  dstregt0  38434  suplesup  38496  infleinf  38529  lptre2pt  38707  0ellimcdiv  38716  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  stoweidlem62  38955  stirlinglem1  38967