Theorem methaus 22135

Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
methaus.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
methaus	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem methaus

Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑥 𝑦 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		methaus.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnex 22134	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑))
3		metxmet 21949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	3	ad2antrr 758	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		simplrl 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝑋)
6		metcl 21947	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
7	6	3expb 1258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ)
9		metgt0 21974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
10	9	3expb 1258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ 0 < (𝑥𝑑𝑦)))
11	10	biimpa 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 0 < (𝑥𝑑𝑦))
12	8, 11	elrpd 11745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℝ+)
13	12	rphalfcld 11760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+)
14	13	rpxrd 11749	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*)
15		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘𝑑)
16	15	blopn 22115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
17	4, 5, 14, 16	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
18		simplrr 797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑋)
19	15	blopn 22115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
20	4, 18, 14, 19	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑))
21		blcntr 22028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
22	4, 5, 13, 21	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
23		blcntr 22028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
24	4, 18, 13, 23	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
25	13	rpred 11748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ)
26		rexadd 11937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
27	25, 25, 26	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)))
28	8	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ∈ ℂ)
29	28	2halvesd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) + ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
30	27, 29	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) = (𝑥𝑑𝑦))
31	8	leidd 10473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (𝑥𝑑𝑦) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
32	30, 31	eqbrtrd 4605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))
33		bldisj 22013	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ ((𝑥𝑑𝑦) / 2) ∈ ℝ* ∧ (((𝑥𝑑𝑦) / 2) +𝑒 ((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ≤ (𝑥𝑑𝑦))) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
34	4, 5, 18, 14, 14, 32, 33	syl33anc 1333	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)
35		eleq2 2677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑥 ∈ 𝑚 ↔ 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
36		ineq1 3769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑚 ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛))
37	36	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑚 ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅))
38	35, 37	3anbi13d 1393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅)))
39		eleq2 2677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (𝑦 ∈ 𝑛 ↔ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
40		ineq2 3770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))))
41	40	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅))
42	39, 41	3anbi23d 1394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) → ((𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)))
43	38, 42	rspc2ev 3295	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∈ (MetOpen‘𝑑) ∧ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ 𝑦 ∈ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∧ ((𝑥(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2)) ∩ (𝑦(ball‘𝑑)((𝑥𝑑𝑦) / 2))) = ∅)) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
44	17, 20, 22, 24, 34, 43	syl113anc 1330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑥 ≠ 𝑦) → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))
45	44	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
46	45	ralrimivva 2954	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅)))
47	15	mopntopon 22054	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋))
48		ishaus2 20965	. . . . . 6 ⊢ ((MetOpen‘𝑑) ∈ (TopOn‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
49	3, 47, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → ((MetOpen‘𝑑) ∈ Haus ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≠ 𝑦 → ∃𝑚 ∈ (MetOpen‘𝑑)∃𝑛 ∈ (MetOpen‘𝑑)(𝑥 ∈ 𝑚 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛 ∧ (𝑚 ∩ 𝑛) = ∅))))
50	46, 49	mpbird 246	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus)
51		eleq1 2676	. . . 4 ⊢ (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → (𝐽 ∈ Haus ↔ (MetOpen‘𝑑) ∈ Haus))
52	50, 51	syl5ibrcom 236	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus))
53	52	rexlimiv 3009	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ (Met‘𝑋)𝐽 = (MetOpen‘𝑑) → 𝐽 ∈ Haus)
54	2, 53	syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708   +_𝑒 cxad 11820  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  ballcbl 19554  MetOpencmopn 19557  TopOnctopon 20518  Hauscha 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-haus 20929

This theorem is referenced by:  cnfldhaus  22398  rehaus  22410  metreg  22474  lmcau  22919  cmetss  22921  minveclem4a  23009  minvecolem4a  27117  minvecolem4b  27118  minvecolem4  27120  hlimf  27478  hmopidmchi  28394  rrhcn  29369  rrexthaus  29379  sitmcl  29740  heiborlem9  32788  bfplem1  32791