Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitmcl 29740
Description: Closure of the integral distance between two simple functions, for an extended metric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitmcl.0 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
sitmcl.1 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
sitmcl.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitmcl.3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitmcl.4 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
Assertion
Ref Expression
sitmcl (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))

Proof of Theorem sitmcl
Dummy variables 𝑥 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
2 sitmcl.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ ∞MetSp)
3 sitmcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
4 sitmcl.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
5 sitmcl.4 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
61, 2, 3, 4, 5sitmfval 29739 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) = (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺)))
7 xrge0base 29016 . . 3 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
8 xrge0topn 29317 . . . 4 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
98eqcomi 2619 . . 3 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
10 eqid 2610 . . 3 (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) = (sigaGen‘((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
11 xrge00 29017 . . 3 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
12 ovex 6577 . . . 4 (0[,]+∞) ∈ V
13 eqid 2610 . . . . 5 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
14 ax-xrsvsca 29005 . . . . 5 ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
1513, 14ressvsca 15855 . . . 4 ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1612, 15ax-mp 5 . . 3 ·e = ( ·𝑠 ‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
17 ax-xrssca 29004 . . . . . 6 fld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
1813, 17resssca 15854 . . . . 5 ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
1912, 18ax-mp 5 . . . 4 fld = (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2019fveq2i 6106 . . 3 (ℝHom‘ℝfld) = (ℝHom‘(Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
21 ovex 6577 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ V)
23 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
24 eqid 2610 . . . . . . 7 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
25 eqid 2610 . . . . . . 7 (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊)) = (sigaGen‘(TopOpen‘𝑊))
26 eqid 2610 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
27 eqid 2610 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
28 eqid 2610 . . . . . . 7 (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
2923, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 4sibff 29725 . . . . . 6 (𝜑𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
30 xmstps 22068 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
3123, 24tpsuni 20553 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ TopSp → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
322, 30, 313syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊))
33 feq3 5941 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3432, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐹: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3529, 34mpbird 246 . . . . 5 (𝜑𝐹: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 5sibff 29725 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊))
37 feq3 5941 . . . . . . 7 ((Base‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊) → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3832, 37syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊) ↔ 𝐺: dom 𝑀 (TopOpen‘𝑊)))
3936, 38mpbird 246 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀⟶(Base‘𝑊))
40 dmexg 6989 . . . . . 6 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ∈ V)
41 uniexg 6853 . . . . . 6 (dom 𝑀 ∈ V → dom 𝑀 ∈ V)
423, 40, 413syl 18 . . . . 5 (𝜑 dom 𝑀 ∈ V)
4335, 39, 42ofresid 28824 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺) = (𝐹𝑓 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺))
442, 30syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
45 eqid 2610 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))
4623, 45xmsxmet 22071 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
47 xmetpsmet 21963 . . . . . . 7 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
482, 46, 473syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)))
49 psmetxrge0 21928 . . . . . 6 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (PsMet‘(Base‘𝑊)) → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
5048, 49syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))):((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))⟶(0[,]+∞))
51 xrge0tps 29316 . . . . . 6 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
5251a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ TopSp)
5324, 23, 45xmstopn 22066 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ∞MetSp → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
542, 53syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))))
55 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))))
5655methaus 22135 . . . . . . . 8 (((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
572, 46, 563syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))) ∈ Haus)
5854, 57eqeltrd 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Haus)
59 haust1 20966 . . . . . 6 ((TopOpen‘𝑊) ∈ Haus → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
6058, 59syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (TopOpen‘𝑊) ∈ Fre)
612, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)))
62 sitmcl.0 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
6323, 26mndidcl 17131 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Mnd → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
6462, 63syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
65 xmet0 21957 . . . . . . 7 ((((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑊)) ∧ (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6661, 64, 65syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = 0)
6766, 11syl6eq 2660 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑊)((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))(0g𝑊)) = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))
6823, 24, 25, 26, 27, 28, 2, 3, 4, 7, 44, 50, 5, 52, 60, 67sibfof 29729 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝑊) × (Base‘𝑊)))𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
6943, 68eqeltrd 2688 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺) ∈ dom ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀))
70 rebase 19771 . . . . 5 ℝ = (Base‘ℝfld)
7170, 70xpeq12i 5061 . . . 4 (ℝ × ℝ) = ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld))
7271reseq2i 5314 . . 3 ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ ((Base‘ℝfld) × (Base‘ℝfld)))
73 xrge0cmn 19607 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
7473a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd)
75 rerrext 29381 . . . . 5 fld ∈ ℝExt
7619, 75eqeltrri 2685 . . . 4 (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt
7776a1i 11 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) ∈ ℝExt )
78 rrhre 29393 . . . . . . . . 9 (ℝHom‘ℝfld) = ( I ↾ ℝ)
7978imaeq1i 5382 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞))
80 0re 9919 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
81 pnfxr 9971 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
82 icossre 12125 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
8380, 81, 82mp2an 704 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
84 resiima 5399 . . . . . . . . 9 ((0[,)+∞) ⊆ ℝ → (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . 8 (( I ↾ ℝ) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
8679, 85eqtri 2632 . . . . . . 7 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
87 icossicc 12131 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
8886, 87eqsstri 3598 . . . . . 6 ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
8988sseli 3564 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
90893ad2ant2 1076 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑚 ∈ (0[,]+∞))
91 simp3 1056 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
92 ge0xmulcl 12158 . . . 4 ((𝑚 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
9390, 91, 92syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ((ℝHom‘ℝfld) “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑚 ·e 𝑥) ∈ (0[,]+∞))
947, 9, 10, 11, 16, 20, 22, 3, 69, 19, 72, 52, 74, 77, 93sitgclg 29731 . 2 (𝜑 → (((ℝ*𝑠s (0[,]+∞))sitg𝑀)‘(𝐹𝑓 (dist‘𝑊)𝐺)) ∈ (0[,]+∞))
956, 94eqeltrd 2688 1 (𝜑 → (𝐹(𝑊sitm𝑀)𝐺) ∈ (0[,]+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540   cuni 4372   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039  cres 5040  cima 5041  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑓 cof 6793  cr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952  cle 9954   ·e cxmu 11821  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  Basecbs 15695  s cress 15696  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  distcds 15777  t crest 15904  TopOpenctopn 15905  0gc0g 15923  ordTopcordt 15982  *𝑠cxrs 15983  Mndcmnd 17117  CMndccmn 18016  PsMetcpsmet 19551  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557  fldcrefld 19769  TopSpctps 20519  Frect1 20921  Hauscha 20922  ∞MetSpcxme 21932  ℝHomcrrh 29365   ℝExt crrext 29366  sigaGencsigagen 29528  measurescmeas 29585  sitmcsitm 29717  sitgcsitg 29718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-xrssca 29004  ax-xrsvsca 29005
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-numer 15281  df-denom 15282  df-gz 15472  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-ordt 15984  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-toset 16857  df-ps 17023  df-tsr 17024  df-plusf 17064  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-field 18573  df-subrg 18601  df-abv 18640  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-nzr 19079  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-metu 19566  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zlm 19672  df-chr 19673  df-refld 19770  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-t1 20928  df-haus 20929  df-reg 20930  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-fcls 21555  df-cnext 21674  df-tmd 21686  df-tgp 21687  df-tsms 21740  df-trg 21773  df-ust 21814  df-utop 21845  df-uss 21870  df-usp 21871  df-ucn 21890  df-cfilu 21901  df-cusp 21912  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-nm 22197  df-ngp 22198  df-nrg 22200  df-nlm 22201  df-ii 22488  df-cncf 22489  df-cfil 22861  df-cmet 22863  df-cms 22940  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-omnd 29030  df-ogrp 29031  df-orng 29128  df-ofld 29129  df-qqh 29345  df-rrh 29367  df-rrext 29371  df-esum 29417  df-siga 29498  df-sigagen 29529  df-meas 29586  df-mbfm 29640  df-sitg 29719  df-sitm 29720
This theorem is referenced by:  sitmf  29741
  Copyright terms: Public domain W3C validator