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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > methaus | Structured version Unicode version |
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) |
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methaus.1 |
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methaus |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | methaus.1 |
. . 3
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2 | 1 | mopnex 20221 |
. 2
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3 | metxmet 20036 |
. . . . . . . . . 10
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4 | 3 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
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5 | simplrl 759 |
. . . . . . . . 9
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6 | metcl 20034 |
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7 | 6 | 3expb 1189 |
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8 | 7 | adantr 465 |
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9 | metgt0 20061 |
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10 | 9 | 3expb 1189 |
. . . . . . . . . . . . 13
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11 | 10 | biimpa 484 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | 8, 11 | elrpd 11131 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 12 | rphalfcld 11145 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 13 | rpxrd 11134 |
. . . . . . . . 9
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15 | eqid 2452 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 15 | blopn 20202 |
. . . . . . . . 9
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17 | 4, 5, 14, 16 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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18 | simplrr 760 |
. . . . . . . . 9
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19 | 15 | blopn 20202 |
. . . . . . . . 9
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20 | 4, 18, 14, 19 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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21 | blcntr 20115 |
. . . . . . . . 9
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22 | 4, 5, 13, 21 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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23 | blcntr 20115 |
. . . . . . . . 9
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24 | 4, 18, 13, 23 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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25 | 13 | rpred 11133 |
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26 | rexadd 11308 |
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27 | 25, 25, 26 | syl2anc 661 |
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28 | 8 | recnd 9518 |
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29 | 28 | 2halvesd 10676 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 27, 29 | eqtrd 2493 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 8 | leidd 10012 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 30, 31 | eqbrtrd 4415 |
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33 | bldisj 20100 |
. . . . . . . . 9
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34 | 4, 5, 18, 14, 14, 32, 33 | syl33anc 1234 |
. . . . . . . 8
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35 | eleq2 2525 |
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36 | ineq1 3648 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | 36 | eqeq1d 2454 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 35, 37 | 3anbi13d 1292 |
. . . . . . . . 9
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39 | eleq2 2525 |
. . . . . . . . . 10
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40 | ineq2 3649 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40 | eqeq1d 2454 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 39, 41 | 3anbi23d 1293 |
. . . . . . . . 9
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43 | 38, 42 | rspc2ev 3182 |
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44 | 17, 20, 22, 24, 34, 43 | syl113anc 1231 |
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45 | 44 | ex 434 |
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46 | 45 | ralrimivva 2908 |
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47 | 15 | mopntopon 20141 |
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48 | ishaus2 19082 |
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49 | 3, 47, 48 | 3syl 20 |
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50 | 46, 49 | mpbird 232 |
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51 | eleq1 2524 |
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52 | 50, 51 | syl5ibrcom 222 |
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53 | 52 | rexlimiv 2935 |
. 2
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54 | 2, 53 | syl 16 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1954 ax-ext 2431 ax-sep 4516 ax-nul 4524 ax-pow 4573 ax-pr 4634 ax-un 6477 ax-cnex 9444 ax-resscn 9445 ax-1cn 9446 ax-icn 9447 ax-addcl 9448 ax-addrcl 9449 ax-mulcl 9450 ax-mulrcl 9451 ax-mulcom 9452 ax-addass 9453 ax-mulass 9454 ax-distr 9455 ax-i2m1 9456 ax-1ne0 9457 ax-1rid 9458 ax-rnegex 9459 ax-rrecex 9460 ax-cnre 9461 ax-pre-lttri 9462 ax-pre-lttrn 9463 ax-pre-ltadd 9464 ax-pre-mulgt0 9465 ax-pre-sup 9466 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2265 df-mo 2266 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2602 df-ne 2647 df-nel 2648 df-ral 2801 df-rex 2802 df-reu 2803 df-rmo 2804 df-rab 2805 df-v 3074 df-sbc 3289 df-csb 3391 df-dif 3434 df-un 3436 df-in 3438 df-ss 3445 df-pss 3447 df-nul 3741 df-if 3895 df-pw 3965 df-sn 3981 df-pr 3983 df-tp 3985 df-op 3987 df-uni 4195 df-iun 4276 df-br 4396 df-opab 4454 df-mpt 4455 df-tr 4489 df-eprel 4735 df-id 4739 df-po 4744 df-so 4745 df-fr 4782 df-we 4784 df-ord 4825 df-on 4826 df-lim 4827 df-suc 4828 df-xp 4949 df-rel 4950 df-cnv 4951 df-co 4952 df-dm 4953 df-rn 4954 df-res 4955 df-ima 4956 df-iota 5484 df-fun 5523 df-fn 5524 df-f 5525 df-f1 5526 df-fo 5527 df-f1o 5528 df-fv 5529 df-riota 6156 df-ov 6198 df-oprab 6199 df-mpt2 6200 df-om 6582 df-1st 6682 df-2nd 6683 df-recs 6937 df-rdg 6971 df-er 7206 df-map 7321 df-en 7416 df-dom 7417 df-sdom 7418 df-sup 7797 df-pnf 9526 df-mnf 9527 df-xr 9528 df-ltxr 9529 df-le 9530 df-sub 9703 df-neg 9704 df-div 10100 df-nn 10429 df-2 10486 df-n0 10686 df-z 10753 df-uz 10968 df-q 11060 df-rp 11098 df-xneg 11195 df-xadd 11196 df-xmul 11197 df-icc 11413 df-topgen 14496 df-psmet 17929 df-xmet 17930 df-met 17931 df-bl 17932 df-mopn 17933 df-top 18630 df-bases 18632 df-topon 18633 df-haus 19046 |
This theorem is referenced by: cnfldhaus 20491 rehaus 20503 metreg 20566 lmcau 20950 cmetss 20952 minveclem4a 21044 minvecolem4a 24425 minvecolem4b 24426 minvecolem4 24428 hlimf 24787 hmopidmchi 25702 rrhcn 26566 rrexthaus 26576 heiborlem9 28861 bfplem1 28864 |
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