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Theorem methaus 20054
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
methaus  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )

Proof of Theorem methaus
Dummy variables  n  d  x  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnex 20053 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
3 metxmet 19868 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  d  e.  ( *Met `  X
) )
43ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
d  e.  ( *Met `  X ) )
5 simplrl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  X )
6 metcl 19866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x d y )  e.  RR )
763expb 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x
d y )  e.  RR )
87adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR )
9 metgt0 19893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =/=  y  <->  0  <  ( x d y ) ) )
1093expb 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  <->  0  <  (
x d y ) ) )
1110biimpa 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
0  <  ( x
d y ) )
128, 11elrpd 11021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR+ )
1312rphalfcld 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )
1413rpxrd 11024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )
15 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  d )  =  (
MetOpen `  d )
1615blopn 20034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
174, 5, 14, 16syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
18 simplrr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  X )
1915blopn 20034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
204, 18, 14, 19syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
21 blcntr 19947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
224, 5, 13, 21syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  ( x
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )
23 blcntr 19947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
244, 18, 13, 23syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
2513rpred 11023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )
26 rexadd 11198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x d y )  /  2 ) +e ( ( x d y )  / 
2 ) )  =  ( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
2725, 25, 26syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( ( ( x d y )  /  2
)  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
288recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  CC )
29282halvesd 10566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) )  =  ( x d y ) )
3027, 29eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( x d y ) )
318leidd 9902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  <_  ( x
d y ) )
3230, 31eqbrtrd 4309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  <_  (
x d y ) )
33 bldisj 19932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( ( x d y )  /  2
) +e ( ( x d y )  /  2 ) )  <_  ( x
d y ) ) )  ->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) )
344, 5, 18, 14, 14, 32, 33syl33anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) )
35 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
x  e.  m  <->  x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
36 ineq1 3542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n ) )
3736eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n )  =  (/) ) )
3835, 373anbi13d 1286 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
39 eleq2 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
y  e.  n  <->  y  e.  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
40 ineq2 3543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  n )  =  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) ) )
4140eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) ) )
4239, 413anbi23d 1287 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) ) ) )
4338, 42rspc2ev 3078 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
)  /\  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  e.  (
MetOpen `  d )  /\  ( x  e.  (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  /\  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
4417, 20, 22, 24, 34, 43syl113anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  E. m  e.  ( MetOpen
`  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4544ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4645ralrimivva 2806 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4715mopntopon 19973 . . . . . 6  |-  ( d  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  d )  e.  (TopOn `  X )
)
48 ishaus2 18914 . . . . . 6  |-  ( (
MetOpen `  d )  e.  (TopOn `  X )  ->  ( ( MetOpen `  d
)  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
493, 47, 483syl 20 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  d )  e. 
Haus 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (
MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5046, 49mpbird 232 . . . 4  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  d )  e.  Haus )
51 eleq1 2501 . . . 4  |-  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  ( MetOpen `  d
)  e.  Haus )
)
5250, 51syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  J  e.  Haus ) )
5352rexlimiv 2833 . 2  |-  ( E. d  e.  ( Met `  X ) J  =  ( MetOpen `  d )  ->  J  e.  Haus )
542, 53syl 16 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714    i^i cin 3324   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   2c2 10367   RR+crp 10987   +ecxad 11083   *Metcxmt 17760   Metcme 17761   ballcbl 17762   MetOpencmopn 17765  TopOnctopon 18458   Hauscha 18871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-haus 18878
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  20323  rehaus  20335  metreg  20398  lmcau  20782  cmetss  20784  minveclem4a  20876  minvecolem4a  24213  minvecolem4b  24214  minvecolem4  24216  hlimf  24575  hmopidmchi  25490  rrhcn  26362  rrexthaus  26372  heiborlem9  28643  bfplem1  28646
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