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Theorem methaus 21315
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
methaus  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )

Proof of Theorem methaus
Dummy variables  n  d  x  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnex 21314 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
3 metxmet 21129 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  d  e.  ( *Met `  X
) )
43ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
d  e.  ( *Met `  X ) )
5 simplrl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  X )
6 metcl 21127 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x d y )  e.  RR )
763expb 1198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x
d y )  e.  RR )
87adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR )
9 metgt0 21154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =/=  y  <->  0  <  ( x d y ) ) )
1093expb 1198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  <->  0  <  (
x d y ) ) )
1110biimpa 482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
0  <  ( x
d y ) )
128, 11elrpd 11301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR+ )
1312rphalfcld 11316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )
1413rpxrd 11305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )
15 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  d )  =  (
MetOpen `  d )
1615blopn 21295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
174, 5, 14, 16syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
18 simplrr 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  X )
1915blopn 21295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
204, 18, 14, 19syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
21 blcntr 21208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
224, 5, 13, 21syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  ( x
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )
23 blcntr 21208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
244, 18, 13, 23syl3anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
2513rpred 11304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )
26 rexadd 11484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x d y )  /  2 ) +e ( ( x d y )  / 
2 ) )  =  ( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
2725, 25, 26syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( ( ( x d y )  /  2
)  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
288recnd 9652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  CC )
29282halvesd 10825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) )  =  ( x d y ) )
3027, 29eqtrd 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( x d y ) )
318leidd 10159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  <_  ( x
d y ) )
3230, 31eqbrtrd 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  <_  (
x d y ) )
33 bldisj 21193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( ( x d y )  /  2
) +e ( ( x d y )  /  2 ) )  <_  ( x
d y ) ) )  ->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) )
344, 5, 18, 14, 14, 32, 33syl33anc 1245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) )
35 eleq2 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
x  e.  m  <->  x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
36 ineq1 3634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n ) )
3736eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n )  =  (/) ) )
3835, 373anbi13d 1303 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
39 eleq2 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
y  e.  n  <->  y  e.  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
40 ineq2 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  n )  =  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) ) )
4140eqeq1d 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) ) )
4239, 413anbi23d 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) ) ) )
4338, 42rspc2ev 3171 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
)  /\  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  e.  (
MetOpen `  d )  /\  ( x  e.  (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  /\  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
4417, 20, 22, 24, 34, 43syl113anc 1242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  E. m  e.  ( MetOpen
`  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4544ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4645ralrimivva 2825 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4715mopntopon 21234 . . . . . 6  |-  ( d  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  d )  e.  (TopOn `  X )
)
48 ishaus2 20145 . . . . . 6  |-  ( (
MetOpen `  d )  e.  (TopOn `  X )  ->  ( ( MetOpen `  d
)  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
493, 47, 483syl 18 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  d )  e. 
Haus 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (
MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5046, 49mpbird 232 . . . 4  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  d )  e.  Haus )
51 eleq1 2474 . . . 4  |-  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  ( MetOpen `  d
)  e.  Haus )
)
5250, 51syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  J  e.  Haus ) )
5352rexlimiv 2890 . 2  |-  ( E. d  e.  ( Met `  X ) J  =  ( MetOpen `  d )  ->  J  e.  Haus )
542, 53syl 17 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    i^i cin 3413   (/)c0 3738   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522    + caddc 9525   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659    / cdiv 10247   2c2 10626   RR+crp 11265   +ecxad 11369   *Metcxmt 18723   Metcme 18724   ballcbl 18725   MetOpencmopn 18728  TopOnctopon 19687   Hauscha 20102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-icc 11589  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-haus 20109
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  21584  rehaus  21596  metreg  21659  lmcau  22043  cmetss  22045  minveclem4a  22137  minvecolem4a  26207  minvecolem4b  26208  minvecolem4  26210  hlimf  26569  hmopidmchi  27483  rrhcn  28430  rrexthaus  28440  heiborlem9  31597  bfplem1  31600
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