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Theorem methaus 20222
Description: The topology generated by a metric space is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
methaus  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )

Proof of Theorem methaus
Dummy variables  n  d  x  y  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnex 20221 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  E. d  e.  ( Met `  X
) J  =  (
MetOpen `  d ) )
3 metxmet 20036 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  d  e.  ( *Met `  X
) )
43ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
d  e.  ( *Met `  X ) )
5 simplrl 759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  X )
6 metcl 20034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x d y )  e.  RR )
763expb 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x
d y )  e.  RR )
87adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR )
9 metgt0 20061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x  =/=  y  <->  0  <  ( x d y ) ) )
1093expb 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  <->  0  <  (
x d y ) ) )
1110biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
0  <  ( x
d y ) )
128, 11elrpd 11131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  RR+ )
1312rphalfcld 11145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )
1413rpxrd 11134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )
15 eqid 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  d )  =  (
MetOpen `  d )
1615blopn 20202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
174, 5, 14, 16syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
18 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  X )
1915blopn 20202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
204, 18, 14, 19syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
) )
21 blcntr 20115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
224, 5, 13, 21syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  x  e.  ( x
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )
23 blcntr 20115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( d  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
244, 18, 13, 23syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )
2513rpred 11133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )
26 rexadd 11308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( x d y )  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( x d y )  /  2 ) +e ( ( x d y )  / 
2 ) )  =  ( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
2725, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( ( ( x d y )  /  2
)  +  ( ( x d y )  /  2 ) ) )
288recnd 9518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  e.  CC )
29282halvesd 10676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 )  +  ( ( x d y )  /  2 ) )  =  ( x d y ) )
3027, 29eqtrd 2493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  =  ( x d y ) )
318leidd 10012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( x d y )  <_  ( x
d y ) )
3230, 31eqbrtrd 4415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( ( x d y )  / 
2 ) +e
( ( x d y )  /  2
) )  <_  (
x d y ) )
33 bldisj 20100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( d  e.  ( *Met `  X
)  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( x d y )  /  2 )  e.  RR*  /\  (
( ( x d y )  /  2
) +e ( ( x d y )  /  2 ) )  <_  ( x
d y ) ) )  ->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) )
344, 5, 18, 14, 14, 32, 33syl33anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  -> 
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) )
35 eleq2 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
x  e.  m  <->  x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
36 ineq1 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n ) )
3736eqeq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  n )  =  (/) ) )
3835, 373anbi13d 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
39 eleq2 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
y  e.  n  <->  y  e.  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) ) )
40 ineq2 3649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  n )  =  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) ) )
4140eqeq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  i^i  ( y ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) ) )  =  (/) ) )
4239, 413anbi23d 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  ->  (
( x  e.  ( x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  n  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  /\  y  e.  ( y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  ( ( x (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  i^i  (
y ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) ) )  =  (/) ) ) )
4338, 42rspc2ev 3182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  e.  ( MetOpen `  d
)  /\  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  e.  (
MetOpen `  d )  /\  ( x  e.  (
x ( ball `  d
) ( ( x d y )  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( y
( ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) )  /\  (
( x ( ball `  d ) ( ( x d y )  /  2 ) )  i^i  ( y (
ball `  d )
( ( x d y )  /  2
) ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
4417, 20, 22, 24, 34, 43syl113anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  /\  x  =/=  y )  ->  E. m  e.  ( MetOpen
`  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
4544ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( Met `  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4645ralrimivva 2908 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
4715mopntopon 20141 . . . . . 6  |-  ( d  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  d )  e.  (TopOn `  X )
)
48 ishaus2 19082 . . . . . 6  |-  ( (
MetOpen `  d )  e.  (TopOn `  X )  ->  ( ( MetOpen `  d
)  e.  Haus  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  ( MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen
`  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) ) )
493, 47, 483syl 20 . . . . 5  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  d )  e. 
Haus 
<-> 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  (
MetOpen `  d ) E. n  e.  ( MetOpen `  d ) ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
5046, 49mpbird 232 . . . 4  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( MetOpen `  d )  e.  Haus )
51 eleq1 2524 . . . 4  |-  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  ( J  e.  Haus  <->  ( MetOpen `  d
)  e.  Haus )
)
5250, 51syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( d  e.  ( Met `  X
)  ->  ( J  =  ( MetOpen `  d
)  ->  J  e.  Haus ) )
5352rexlimiv 2935 . 2  |-  ( E. d  e.  ( Met `  X ) J  =  ( MetOpen `  d )  ->  J  e.  Haus )
542, 53syl 16 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797    i^i cin 3430   (/)c0 3740   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388    + caddc 9391   RR*cxr 9523    < clt 9524    <_ cle 9525    / cdiv 10099   2c2 10477   RR+crp 11097   +ecxad 11193   *Metcxmt 17921   Metcme 17922   ballcbl 17923   MetOpencmopn 17926  TopOnctopon 18626   Hauscha 19039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-icc 11413  df-topgen 14496  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-haus 19046
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  20491  rehaus  20503  metreg  20566  lmcau  20950  cmetss  20952  minveclem4a  21044  minvecolem4a  24425  minvecolem4b  24426  minvecolem4  24428  hlimf  24787  hmopidmchi  25702  rrhcn  26566  rrexthaus  26576  heiborlem9  28861  bfplem1  28864
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