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Theorem bfplem1 32791
Description: Lemma for bfp 32793. The sequence 𝐺, which simply starts from any point in the space and iterates 𝐹, satisfies the property that the distance from 𝐺(𝑛) to 𝐺(𝑛 + 1) decreases by at least 𝐾 after each step. Thus, the total distance from any 𝐺(𝑖) to 𝐺(𝑗) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point ((⇝𝑡𝐽)‘𝐺) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
bfp.3 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
bfp.4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
bfp.5 (𝜑𝐾 < 1)
bfp.6 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
bfp.7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
bfp.8 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
bfp.9 (𝜑𝐴𝑋)
bfp.10 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
Assertion
Ref Expression
bfplem1 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
2 cmetmet 22892 . . . . 5 (𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
4 nnuz 11599 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
5 bfp.10 . . . . 5 𝐺 = seq1((𝐹 ∘ 1st ), (ℕ × {𝐴}))
6 1zzd 11285 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 bfp.9 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
8 bfp.6 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋𝑋)
94, 5, 6, 7, 8algrf 15124 . . . 4 (𝜑𝐺:ℕ⟶𝑋)
108, 7ffvelrnd 6268 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝑋)
11 metcl 21947 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
123, 7, 10, 11syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℝ)
13 bfp.4 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1412, 13rerpdivcld 11779 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
15 bfp.5 . . . 4 (𝜑𝐾 < 1)
16 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐺𝑗) = (𝐺‘1))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
1817fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(1 + 1)))
1916, 18oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))))
20 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (𝐾𝑗) = (𝐾↑1))
2120oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
2219, 21breq12d 4596 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1))))
2322imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))))
24 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺𝑗) = (𝐺𝑘))
25 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
2625fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
2724, 26oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
28 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾𝑗) = (𝐾𝑘))
2928oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))
3027, 29breq12d 4596 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))))
3130imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))))
32 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺𝑗) = (𝐺‘(𝑘 + 1)))
33 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
3433fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑗 + 1)) = (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)))
3532, 34oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) = ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))))
36 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐾𝑗) = (𝐾↑(𝑘 + 1)))
3736oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
3835, 37breq12d 4596 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗)) ↔ ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
3938imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → ((𝐺𝑗)𝐷(𝐺‘(𝑗 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑗))) ↔ (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
4012leidd 10473 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ≤ (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
414, 5, 6, 7algr0 15123 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘1) = 𝐴)
42 1nn 10908 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
434, 5, 6, 7, 8algrp1 15125 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
4442, 43mpan2 703 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘1)))
4541fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘(𝐺‘1)) = (𝐹𝐴))
4644, 45eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺‘(1 + 1)) = (𝐹𝐴))
4741, 46oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
4813rpred 11748 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4948recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
5049exp1d 12865 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
5150oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · 𝐾))
5212recnd 9947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐷(𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
5313rpne0d 11753 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ 0)
5452, 49, 53divcan1d 10681 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · 𝐾) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
5551, 54eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)) = (𝐴𝐷(𝐹𝐴)))
5640, 47, 553brtr4d 4615 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺‘1)𝐷(𝐺‘(1 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑1)))
579ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑋)
58 peano2nn 10909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
59 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺:ℕ⟶𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
609, 58, 59syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
6157, 60jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋))
62 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
6362ralrimivva 2954 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)))
65 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
6665oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)))
67 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝑥𝐷𝑦) = ((𝐺𝑘)𝐷𝑦))
6867oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)))
6966, 68breq12d 4596 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐺𝑘) → (((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦))))
70 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
7170oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
72 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → ((𝐺𝑘)𝐷𝑦) = ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))
7372oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
7471, 73breq12d 4596 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝐺‘(𝑘 + 1)) → (((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷𝑦)) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
7569, 74rspc2v 3293 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 ((𝐹𝑥)𝐷(𝐹𝑦)) ≤ (𝐾 · (𝑥𝐷𝑦)) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))))))
7661, 64, 75sylc 63 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
773adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
788adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:𝑋𝑋)
7978, 57ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝑋)
8078, 60ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋)
81 metcl 21947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ 𝑋) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
8277, 79, 80, 81syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
8348adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
84 metcl 21947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐺𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
8577, 57, 60, 84syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
8683, 85remulcld 9949 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
8714adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℝ)
8858adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
8988nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
9083, 89reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
9187, 90remulcld 9949 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
92 letr 10010 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
9382, 86, 91, 92syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ∧ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
9476, 93mpand 707 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) → ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
95 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
96 reexpcl 12739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
9748, 95, 96syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
9887, 97remulcld 9949 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ∈ ℝ)
9913rpgt0d 11751 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐾)
101 lemul1 10754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ ∧ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾)))
10285, 98, 83, 100, 101syl112anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾)))
10385recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
10449adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
105103, 104mulcomd 9940 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) = (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
10687recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) ∈ ℂ)
10797recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℂ)
108106, 107, 104mulassd 9942 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾𝑘) · 𝐾)))
109 expp1 12729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾𝑘) · 𝐾))
11049, 95, 109syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑘 + 1)) = ((𝐾𝑘) · 𝐾))
111110oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · ((𝐾𝑘) · 𝐾)))
112108, 111eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) = (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))
113105, 112breq12d 4596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) · 𝐾) ≤ ((((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) · 𝐾) ↔ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
114102, 113bitrd 267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) ↔ (𝐾 · ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
1154, 5, 6, 7, 8algrp1 15125 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
1164, 5, 6, 7, 8algrp1 15125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
11758, 116sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘((𝑘 + 1) + 1)) = (𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
118115, 117oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) = ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))))
119118breq1d 4593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹‘(𝐺𝑘))𝐷(𝐹‘(𝐺‘(𝑘 + 1)))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
12094, 114, 1193imtr4d 282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1)))))
121120expcom 450 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → (((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)) → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
122121a2d 29 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))) → (𝜑 → ((𝐺‘(𝑘 + 1))𝐷(𝐺‘((𝑘 + 1) + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾↑(𝑘 + 1))))))
12323, 31, 39, 31, 56, 122nnind 10915 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝜑 → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘))))
124123impcom 445 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘)𝐷(𝐺‘(𝑘 + 1))) ≤ (((𝐴𝐷(𝐹𝐴)) / 𝐾) · (𝐾𝑘)))
1253, 9, 14, 13, 15, 124geomcau 32725 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (Cau‘𝐷))
126 bfp.8 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
127126cmetcau 22895 . . 3 ((𝐷 ∈ (CMet‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ (Cau‘𝐷)) → 𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
1281, 125, 127syl2anc 691 . 2 (𝜑𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
129 metxmet 21949 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
130126methaus 22135 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Haus)
1313, 129, 1303syl 18 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Haus)
132 lmfun 20995 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → Fun (⇝𝑡𝐽))
133 funfvbrb 6238 . . 3 (Fun (⇝𝑡𝐽) → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
134131, 132, 1333syl 18 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ dom (⇝𝑡𝐽) ↔ 𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺)))
135128, 134mpbid 221 1 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐽)((⇝𝑡𝐽)‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  ccom 5042  Fun wfun 5798  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  1st c1st 7057  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  +crp 11708  seqcseq 12663  cexp 12722  ∞Metcxmt 19552  Metcme 19553  MetOpencmopn 19557  𝑡clm 20840  Hauscha 20922  Caucca 22859  CMetcms 22860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-ntr 20634  df-nei 20712  df-lm 20843  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863
This theorem is referenced by:  bfplem2  32792
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