Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqr2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqr2irrlem 14816
 Description: Lemma for irrationality of square root of 2. The core of the proof - if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqr2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqr2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqr2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqr2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cn 10968 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2 sqrtth 13952 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → ((√‘2)↑2) = 2)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((√‘2)↑2) = 2
4 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
54oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
63, 5syl5eqr 2658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
7 sqr2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
87zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9 sqr2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
109nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
128, 10, 11sqdivd 12883 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
136, 12eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1413oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
158sqcld 12868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
169nnsqcld 12891 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1716nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1816nnne0d 10942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1915, 17, 18divcan1d 10681 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2014, 19eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2120oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
23 2ne0 10990 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2517, 22, 24divcan3d 10685 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2621, 25eqtr3d 2646 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2726, 16eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2827nnzd 11357 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
29 zesq 12849 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
307, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
3128, 30mpbird 246 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
321sqvali 12805 . . . . . . . 8 (2↑2) = (2 · 2)
3332oveq2i 6560 . . . . . . 7 ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2))
348, 22, 24sqdivd 12883 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3515, 22, 22, 24, 24divdiv1d 10711 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3633, 34, 353eqtr4a 2670 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3726oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3836, 37eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
39 zsqcl 12796 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4031, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
4138, 40eqeltrrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4216nnrpd 11746 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4342rphalfcld 11760 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4443rpgt0d 11751 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
45 elnnz 11264 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4641, 44, 45sylanbrc 695 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
47 nnesq 12850 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
489, 47syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4946, 48mpbird 246 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
5031, 49jca 553 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   < clt 9953   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ↑cexp 12722  √csqrt 13821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  sqrt2irr  14817
 Copyright terms: Public domain W3C validator