Theorem divcan1d 10681

Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcan1d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcan1 10573	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  ltdiv23  10793  lediv23  10794  recp1lt1  10800  ledivp1  10804  subhalfhalf  11143  xp1d2m1eqxm1d2  11163  div4p1lem1div2  11164  qmulz  11667  iccf1o  12187  ltdifltdiv  12497  bcpasc  12970  sqrtdiv  13854  geo2sum  14443  sqr2irrlem  14816  dvdsval2  14824  flodddiv4t2lthalf  14978  bitsres  15033  bitsuz  15034  mulgcddvds  15207  qredeq  15209  isprm6  15264  qmuldeneqnum  15293  hashgcdlem  15331  pcqdiv  15400  pockthlem  15447  prmreclem3  15460  4sqlem5  15484  4sqlem12  15498  4sqlem15  15501  sylow3lem4  17868  odadd1  18074  odadd2  18075  gexexlem  18078  pgpfac1lem3a  18298  pgpfac1lem3  18299  znidomb  19729  znrrg  19733  nmoleub2lem  22722  nmoleub3  22727  i1fmullem  23267  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  dvcnp2  23489  dvlip  23560  plydivlem4  23855  cosne0  24080  advlogexp  24201  root1id  24295  cxplogb  24324  ang180lem1  24339  ang180lem3  24341  angpieqvd  24358  chordthmlem  24359  dcubic2  24371  dcubic  24373  dquartlem2  24379  cxploglim2  24505  fsumdvdsdiaglem  24709  logexprlim  24750  bposlem3  24811  lgslem1  24822  gausslemma2dlem1a  24890  lgsquadlem1  24905  2lgslem1a1  24914  log2sumbnd  25033  chpdifbndlem1  25042  selberg4lem1  25049  pntrlog2bndlem3  25068  pntibndlem2  25080  pntlemr  25091  ostth2lem3  25124  ostth2  25126  ostth3  25127  axcontlem7  25650  blocnilem  27043  qqhval2lem  29353  cndprobin  29823  faclimlem1  30882  faclimlem3  30884  nn0prpwlem  31487  bj-ldiv  32332  itg2addnclem3  32633  bfplem1  32791  rrncmslem  32801  rrnequiv  32804  pellexlem6  36416  jm2.19  36578  jm2.27c  36592  binomcxplemnotnn0  37577  sineq0ALT  38195  xralrple2  38511  ltdiv23neg  38558  stoweidlem42  38935  stirlinglem3  38969  dirkertrigeq  38994  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem4  39004  fourierdlem63  39062  fourierdlem65  39064  fourierdlem83  39082  fourierdlem89  39088  fourierdlem90  39089  fourierdlem91  39090  etransclem38  39165  smfmullem1  39676  sigarcol  39702  sharhght  39703  proththd  40069  mod0mul  42108  nn0sumshdiglemA  42211