Proof of Theorem angpieqvd
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | angpieqvd.angdef |
. . . . . . 7
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})
↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥)))) |
2 | | angpieqvd.A |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
3 | | angpieqvd.B |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
4 | | angpieqvd.C |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
5 | | angpieqvd.AneB |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵) |
6 | | angpieqvd.BneC |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶) |
7 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | angpieqvdlem2 24356 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
8 | 7 | biimpar 501 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈
ℝ+) |
9 | 2 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ) |
10 | 3 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ) |
11 | 4 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ) |
12 | 5 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
13 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | angpined 24357 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → 𝐴 ≠ 𝐶)) |
14 | 13 | imp 444 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐴 ≠ 𝐶) |
15 | 9, 10, 11, 12, 14 | angpieqvdlem 24355 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))) |
16 | 8, 15 | mpbid 221 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)) |
17 | 4, 3 | subcld 10271 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
19 | 4, 2 | subcld 10271 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
21 | 14 | necomd 2837 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐶 ≠ 𝐴) |
22 | 11, 9, 21 | subne0d 10280 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0) |
23 | 18, 20, 22 | divcan1d 10681 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)) = (𝐶 − 𝐵)) |
24 | 23 | eqcomd 2616 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴))) |
25 | 18, 20, 22 | divcld 10680 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ) |
26 | 9, 10, 11, 25 | affineequiv 24353 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · (𝐶 − 𝐴)))) |
27 | 24, 26 | mpbird 246 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) |
28 | | oveq1 6556 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴)) |
29 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)))) |
30 | 29 | oveq1d 6564 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)) |
31 | 28, 30 | oveq12d 6567 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) |
32 | 31 | eqeq2d 2620 |
. . . . 5
⊢ (𝑤 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶)))) |
33 | 32 | rspcev 3282 |
. . . 4
⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))) |
34 | 16, 27, 33 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))) |
35 | 34 | ex 449 |
. 2
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))) |
36 | 2 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
37 | 3 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ) |
38 | 4 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ) |
39 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1)) |
40 | | elioore 12076 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈
ℝ) |
41 | | recn 9905 |
. . . . . 6
⊢ (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈
ℂ) |
42 | 39, 40, 41 | 3syl 18 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ) |
43 | 36, 37, 38, 42 | affineequiv 24353 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)))) |
44 | | simp3 1056 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) |
45 | 17 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ) |
46 | 42 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ) |
47 | 19 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ) |
48 | 6 | necomd 2837 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐵) |
49 | 4, 3, 48 | subne0d 10280 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0) |
50 | 49 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐵) ≠ 0) |
51 | 44, 50 | eqnetrrd 2850 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) ≠ 0) |
52 | 46, 47, 51 | mulne0bbd 10562 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (𝐶 − 𝐴) ≠ 0) |
53 | 45, 46, 47, 52 | divmul3d 10714 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)))) |
54 | 44, 53 | mpbird 246 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) = 𝑤) |
55 | | simp2 1055 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1)) |
56 | 54, 55 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1)) |
57 | 2 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
58 | 3 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ) |
59 | 4 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ) |
60 | 5 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
61 | 59, 57, 52 | subne0ad 10282 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐶 ≠ 𝐴) |
62 | 61 | necomd 2837 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐴 ≠ 𝐶) |
63 | 57, 58, 59, 60, 62 | angpieqvdlem 24355 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐴)) ∈ (0(,)1))) |
64 | 56, 63 | mpbird 246 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → -((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈
ℝ+) |
65 | 6 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → 𝐵 ≠ 𝐶) |
66 | 1, 57, 58, 59, 60, 65 | angpieqvdlem2 24356 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → (-((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
67 | 64, 66 | mpbid 221 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π) |
68 | 67 | 3expia 1259 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶 − 𝐵) = (𝑤 · (𝐶 − 𝐴)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
69 | 43, 68 | sylbid 229 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
70 | 69 | rexlimdva 3013 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π)) |
71 | 35, 70 | impbid 201 |
1
⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐵)𝐹(𝐶 − 𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))) |