Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  angpieqvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem angpieqvd 24358
 Description: The angle ABC is π iff B is a nontrivial convex combination of A and C, i.e., iff B is in the interior of the segment AC. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
angpieqvd.angdef 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
angpieqvd.A (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
angpieqvd.B (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
angpieqvd.C (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
angpieqvd.AneB (𝜑𝐴𝐵)
angpieqvd.BneC (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
angpieqvd (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑤,𝐹   𝜑,𝑤   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem angpieqvd
StepHypRef Expression
1 angpieqvd.angdef . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
2 angpieqvd.A . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 angpieqvd.B . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 angpieqvd.C . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5 angpieqvd.AneB . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
6 angpieqvd.BneC . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
71, 2, 3, 4, 5, 6angpieqvdlem2 24356 . . . . . 6 (𝜑 → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
87biimpar 501 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
92adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴 ∈ ℂ)
103adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐵 ∈ ℂ)
114adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐶 ∈ ℂ)
125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴𝐵)
131, 2, 3, 4, 5, 6angpined 24357 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → 𝐴𝐶))
1413imp 444 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐴𝐶)
159, 10, 11, 12, 14angpieqvdlem 24355 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
168, 15mpbid 221 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1))
174, 3subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
194, 2subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
2019adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
2114necomd 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐶𝐴)
2211, 9, 21subne0d 10280 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
2318, 20, 22divcan1d 10681 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)) = (𝐶𝐵))
2423eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐶𝐵) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴)))
2518, 20, 22divcld 10680 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ ℂ)
269, 10, 11, 25affineequiv 24353 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → (𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · (𝐶𝐴))))
2724, 26mpbird 246 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)))
28 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (𝑤 · 𝐴) = (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴))
29 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (1 − 𝑤) = (1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))))
3029oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → ((1 − 𝑤) · 𝐶) = ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))
3128, 30oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶)))
3231eqeq2d 2620 . . . . 5 (𝑤 = ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))))
3332rspcev 3282 . . . 4 ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1) ∧ 𝐵 = ((((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) · 𝐴) + ((1 − ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴))) · 𝐶))) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
3416, 27, 33syl2anc 691 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π) → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)))
3534ex 449 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π → ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
362adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
373adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
384adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
39 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
40 elioore 12076 . . . . . 6 (𝑤 ∈ (0(,)1) → 𝑤 ∈ ℝ)
41 recn 9905 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
4239, 40, 413syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
4336, 37, 38, 42affineequiv 24353 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) ↔ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))))
44 simp3 1056 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴)))
45173ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
46423adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝑤 ∈ ℂ)
47193ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
486necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶𝐵)
494, 3, 48subne0d 10280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝐵) ≠ 0)
50493ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐵) ≠ 0)
5144, 50eqnetrrd 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝑤 · (𝐶𝐴)) ≠ 0)
5246, 47, 51mulne0bbd 10562 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (𝐶𝐴) ≠ 0)
5345, 46, 47, 52divmul3d 10714 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = 𝑤 ↔ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))))
5444, 53mpbird 246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) = 𝑤)
55 simp2 1055 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝑤 ∈ (0(,)1))
5654, 55eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1))
5723ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5833ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
5943ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6053ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴𝐵)
6159, 57, 52subne0ad 10282 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐶𝐴)
6261necomd 2837 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐴𝐶)
6357, 58, 59, 60, 62angpieqvdlem 24355 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐶𝐵) / (𝐶𝐴)) ∈ (0(,)1)))
6456, 63mpbird 246 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → -((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+)
6563ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → 𝐵𝐶)
661, 57, 58, 59, 60, 65angpieqvdlem2 24356 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → (-((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
6764, 66mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1) ∧ (𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴))) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π)
68673expia 1259 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → ((𝐶𝐵) = (𝑤 · (𝐶𝐴)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
6943, 68sylbid 229 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ (0(,)1)) → (𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
7069rexlimdva 3013 . 2 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶)) → ((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π))
7135, 70impbid 201 1 (𝜑 → (((𝐴𝐵)𝐹(𝐶𝐵)) = π ↔ ∃𝑤 ∈ (0(,)1)𝐵 = ((𝑤 · 𝐴) + ((1 − 𝑤) · 𝐶))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  ℑcim 13686  πcpi 14636  logclog 24105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107 This theorem is referenced by:  chordthm  24364  chordthmALT  38191
 Copyright terms: Public domain W3C validator