Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xralrple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xralrple2 38511
 Description: Show that 𝐴 is less than 𝐵 by showing that there is no positive bound on the difference. A variant on xralrple 11910. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xralrple2.x 𝑥𝜑
xralrple2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xralrple2.b (𝜑𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xralrple2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem xralrple2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xralrple2.x . . . . 5 𝑥𝜑
2 nfv 1830 . . . . 5 𝑥 𝐴𝐵
31, 2nfan 1816 . . . 4 𝑥(𝜑𝐴𝐵)
4 xralrple2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
54ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 icossxr 12129 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
7 xralrple2.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (0[,)+∞))
87ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
96, 8sseldi 3566 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ*)
10 1red 9934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
11 rpre 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
1310, 12readdcld 9948 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
14 rge0ssre 12151 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1514, 7sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
1713, 16remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ)
1817rexrd 9968 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ*)
1918adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∈ ℝ*)
20 simplr 788 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐵)
2115ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
22 1red 9934 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
2322, 11readdcld 9948 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
2423adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑥) ∈ ℝ)
25 0xr 9965 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ∈ ℝ*)
27 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
29 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
30 icogelb 12096 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ 𝐵)
3126, 28, 29, 30syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝐵)
327, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
3332ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
34 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)
3522, 34ltaddrpd 11781 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 < (1 + 𝑥))
3622, 23, 35ltled 10064 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ≤ (1 + 𝑥))
3736adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ≤ (1 + 𝑥))
3821, 24, 33, 37lemulge12d 10841 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
395, 9, 19, 20, 38xrletrd 11869 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
4039ex 449 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
413, 40ralrimi 2940 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
4241ex 449 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
434ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → 𝐵 = 0)
45 0red 9920 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → 0 ∈ ℝ)
4644, 45eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℝ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
48 rpre 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
5047, 49readdcld 9948 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ)
5150rexrd 9968 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ*)
5251adantll 746 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) ∈ ℝ*)
5325a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ*)
54 1rp 11712 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 1 ∈ ℝ+)
56 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
57 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (1 + 𝑥) = (1 + 1))
5857oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + 1) · 𝐵))
5958breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵)))
6059rspcva 3280 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
6155, 56, 60syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ ((1 + 1) · 𝐵))
62 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + 1) = 2
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → (1 + 1) = 2)
6463oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → ((1 + 1) · 𝐵) = (2 · 𝐵))
6561, 64breqtrd 4609 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
6665adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
67 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
68 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (2 · 𝐵))
69 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = (2 · 0))
70 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = 0 → 2 ∈ ℂ)
7170mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = 0 → (2 · 0) = 0)
7269, 71eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → (2 · 𝐵) = 0)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → (2 · 𝐵) = 0)
7468, 73breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≤ (2 · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
7566, 67, 74syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
7675ad4ant24 1290 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ 0)
77 rpgt0 11720 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑦)
7877adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 0 < 𝑦)
79 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (𝐵 + 𝑦) = (0 + 𝑦))
8148recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 ∈ ℂ)
8382addid2d 10116 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → (0 + 𝑦) = 𝑦)
8480, 83eqtr2d 2645 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 𝑦 = (𝐵 + 𝑦))
8578, 84breqtrd 4609 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
8685adantll 746 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 0 < (𝐵 + 𝑦))
8743, 53, 52, 76, 86xrlelttrd 11867 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 < (𝐵 + 𝑦))
8843, 52, 87xrltled 38427 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
89 simpl 472 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+))
9015adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
91 0red 9920 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℝ)
9232adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 ≤ 𝐵)
9344necon3bi 2808 . . . . . . . . . . 11 𝐵 = 0 → 𝐵 ≠ 0)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ≠ 0)
9591, 90, 92, 94leneltd 10070 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 0 < 𝐵)
9690, 95elrpd 11745 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9796ad4ant14 1285 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℝ+)
98 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
99 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10098, 99rpdivcld 11765 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ+)
101 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵))
102 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (1 + 𝑥) = (1 + (𝑦 / 𝐵)))
103102oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → ((1 + 𝑥) · 𝐵) = ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
104103breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 𝐵) → (𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ↔ 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵)))
105104rspcva 3280 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
106100, 101, 105syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
107106adantlll 750 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵))
108 1cnd 9935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
10981adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
110 rpcn 11717 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
112 rpne0 11724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
113112adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
114109, 111, 113divcld 10680 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℂ)
115108, 114, 111adddird 9944 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)))
116111mulid2d 9937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
117109, 111, 113divcan1d 10681 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵) = 𝑦)
118116, 117oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 · 𝐵) + ((𝑦 / 𝐵) · 𝐵)) = (𝐵 + 𝑦))
119 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝑦) = (𝐵 + 𝑦))
120115, 118, 1193eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
121120adantll 746 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((1 + (𝑦 / 𝐵)) · 𝐵) = (𝐵 + 𝑦))
122107, 121breqtrd 4609 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
12389, 97, 122syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ¬ 𝐵 = 0) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
12488, 123pm2.61dan 828 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
125124ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦))
126 xralrple 11910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
1274, 15, 126syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
128127adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ (𝐵 + 𝑦)))
129125, 128mpbird 246 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)) → 𝐴𝐵)
130129ex 449 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵) → 𝐴𝐵))
13142, 130impbid 201 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ 𝐴 ≤ ((1 + 𝑥) · 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  2c2 10947  ℝ+crp 11708  [,)cico 12048 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ico 12052 This theorem is referenced by:  hoidmvlelem5  39489
 Copyright terms: Public domain W3C validator