MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddrpd 11781
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 ltaddrp 11743 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cr 9814   + caddc 9818   < clt 9953  +crp 11708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-rp 11709
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  11782  xov1plusxeqvd  12189  isumltss  14419  effsumlt  14680  tanhlt1  14729  4sqlem12  15498  vdwlem1  15523  chfacfscmul0  20482  chfacfpmmul0  20486  nlmvscnlem2  22299  nlmvscnlem1  22300  iccntr  22432  icccmplem2  22434  reconnlem2  22438  lebnumii  22573  ipcnlem2  22851  ipcnlem1  22852  ivthlem2  23028  ovolgelb  23055  ovollb2lem  23063  itg2monolem3  23325  dvferm1lem  23551  lhop1lem  23580  lhop  23583  dvcnvrelem1  23584  dvcnvrelem2  23585  pserdvlem1  23985  pserdv  23987  lgamgulmlem2  24556  lgamgulmlem3  24557  lgamucov  24564  perfectlem2  24755  bposlem2  24810  pntibndlem2  25080  pntlemb  25086  pntlem3  25098  tpr2rico  29286  omssubaddlem  29688  fibp1  29790  heicant  32614  itg2addnc  32634  rrnequiv  32804  pellfundex  36468  rmspecfund  36492  acongeq  36568  jm3.1lem2  36603  oddfl  38430  infrpge  38508  xralrple2  38511  xrralrecnnle  38543  iooiinicc  38616  iooiinioc  38630  fsumnncl  38638  climinf  38673  lptre2pt  38707  ioodvbdlimc1lem2  38822  wallispilem4  38961  dirkertrigeqlem3  38993  dirkercncflem2  38997  fourierdlem63  39062  fourierdlem65  39064  fourierdlem75  39074  fourierdlem79  39078  fouriersw  39124  etransclem35  39162  qndenserrnbllem  39190  omeiunltfirp  39409  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem3  39487  hoiqssbllem3  39514  iinhoiicc  39565  iunhoiioo  39567  vonioolem2  39572  vonicclem1  39574  preimaleiinlt  39608  smfmullem3  39678  perfectALTVlem2  40165
  Copyright terms: Public domain W3C validator