MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Unicode version

Theorem ltaddrpd 11276
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 ltaddrp 11243 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   RRcr 9482    + caddc 9486    < clt 9619   RR+crp 11211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-rp 11212
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  11277  xov1plusxeqvd  11657  isumltss  13614  effsumlt  13698  tanhlt1  13747  4sqlem12  14324  vdwlem1  14349  chfacfscmul0  19121  chfacfpmmul0  19125  nlmvscnlem2  20924  nlmvscnlem1  20925  iccntr  21056  icccmplem2  21058  reconnlem2  21062  lebnumii  21196  ipcnlem2  21414  ipcnlem1  21415  ivthlem2  21594  ovolgelb  21621  ovollb2lem  21629  itg2monolem3  21889  dvferm1lem  22115  lhop1lem  22144  lhop  22147  dvcnvrelem1  22148  dvcnvrelem2  22149  pserdvlem1  22551  pserdv  22553  perfectlem2  23228  bposlem2  23283  pntibndlem2  23499  pntlemb  23505  pntlem3  23517  tpr2rico  27518  fibp1  27968  lgamgulmlem2  28200  lgamgulmlem3  28201  lgamucov  28208  heicant  29615  itg2addnc  29635  rrnequiv  29923  pellfundex  30415  rmspecfund  30438  acongeq  30514  jm3.1lem2  30555  oddfl  30993  climinf  31105  lptre2pt  31139  ioodvbdlimc1lem1  31218  ioodvbdlimc1lem2  31219  wallispilem4  31325  dirkertrigeqlem3  31357  dirkercncflem2  31361  fourierdlem45  31409  fourierdlem65  31429  fourierdlem75  31439  fourierdlem79  31443  fouriersw  31489
  Copyright terms: Public domain W3C validator