MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltaddrpd 11399
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 ltaddrp 11364 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41, 2, 3syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   RRcr 9563    + caddc 9567    < clt 9700   RR+crp 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-ltxr 9705  df-rp 11331
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  11400  xov1plusxeqvd  11806  isumltss  13954  effsumlt  14213  tanhlt1  14262  4sqlem12  14948  vdwlem1  14979  chfacfscmul0  19930  chfacfpmmul0  19934  nlmvscnlem2  21736  nlmvscnlem1  21737  iccntr  21887  icccmplem2  21889  reconnlem2  21893  lebnumii  22045  ipcnlem2  22263  ipcnlem1  22264  ivthlem2  22451  ovolgelb  22481  ovollb2lem  22489  itg2monolem3  22758  dvferm1lem  22984  lhop1lem  23013  lhop  23016  dvcnvrelem1  23017  dvcnvrelem2  23018  pserdvlem1  23430  pserdv  23432  lgamgulmlem2  24003  lgamgulmlem3  24004  lgamucov  24011  perfectlem2  24206  bposlem2  24261  pntibndlem2  24477  pntlemb  24483  pntlem3  24495  tpr2rico  28766  omssubaddlem  29175  omssubaddlemOLD  29179  fibp1  29282  heicant  32019  itg2addnc  32040  rrnequiv  32211  pellfundex  35778  rmspecfund  35801  acongeq  35877  jm3.1lem2  35917  oddfl  37524  infrpge  37611  xralrple2  37614  fsumnncl  37687  climinf  37721  climinfOLD  37722  lptre2pt  37757  ioodvbdlimc1lem2  37841  ioodvbdlimc1lem2OLD  37843  wallispilem4  37967  dirkertrigeqlem3  37999  dirkercncflem2  38003  fourierdlem63  38070  fourierdlem65  38072  fourierdlem75  38082  fourierdlem79  38086  fouriersw  38132  etransclem35  38171  qndenserrnbllem  38200  omeiunltfirp  38377  hoidmvlelem1  38454  hoidmvlelem3  38456  hoiqssbllem3  38483  perfectALTVlem2  38881
  Copyright terms: Public domain W3C validator