MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Unicode version

Theorem ltaddrpd 11288
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 ltaddrp 11254 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41, 2, 3syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480    + caddc 9484    < clt 9617   RR+crp 11221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-rp 11222
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  11289  xov1plusxeqvd  11669  isumltss  13742  effsumlt  13928  tanhlt1  13977  4sqlem12  14558  vdwlem1  14583  chfacfscmul0  19526  chfacfpmmul0  19530  nlmvscnlem2  21360  nlmvscnlem1  21361  iccntr  21492  icccmplem2  21494  reconnlem2  21498  lebnumii  21632  ipcnlem2  21850  ipcnlem1  21851  ivthlem2  22030  ovolgelb  22057  ovollb2lem  22065  itg2monolem3  22325  dvferm1lem  22551  lhop1lem  22580  lhop  22583  dvcnvrelem1  22584  dvcnvrelem2  22585  pserdvlem1  22988  pserdv  22990  perfectlem2  23703  bposlem2  23758  pntibndlem2  23974  pntlemb  23980  pntlem3  23992  tpr2rico  28129  omssubaddlem  28507  fibp1  28604  lgamgulmlem2  28836  lgamgulmlem3  28837  lgamucov  28844  heicant  30289  itg2addnc  30309  rrnequiv  30571  pellfundex  31061  rmspecfund  31084  acongeq  31160  jm3.1lem2  31199  oddfl  31699  fsumnncl  31811  climinf  31851  lptre2pt  31885  ioodvbdlimc1lem2  31968  wallispilem4  32089  dirkertrigeqlem3  32121  dirkercncflem2  32125  fourierdlem63  32191  fourierdlem65  32193  fourierdlem75  32203  fourierdlem79  32207  fouriersw  32253  etransclem35  32291
  Copyright terms: Public domain W3C validator