MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddrpd Structured version   Unicode version

Theorem ltaddrpd 11043
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rpgecld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltaddrpd  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )

Proof of Theorem ltaddrpd
StepHypRef Expression
1 rpgecld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rpgecld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3 ltaddrp 11010 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  <  ( A  +  B ) )
41, 2, 3syl2anc 654 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9268    + caddc 9272    < clt 9405   RR+crp 10978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410  df-rp 10979
This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  11044  xov1plusxeqvd  11417  isumltss  13293  effsumlt  13377  tanhlt1  13426  4sqlem12  13999  vdwlem1  14024  nlmvscnlem2  20107  nlmvscnlem1  20108  iccntr  20239  icccmplem2  20241  reconnlem2  20245  lebnumii  20379  ipcnlem2  20597  ipcnlem1  20598  ivthlem2  20777  ovolgelb  20804  ovollb2lem  20812  itg2monolem3  21071  dvferm1lem  21297  lhop1lem  21326  lhop  21329  dvcnvrelem1  21330  dvcnvrelem2  21331  pserdvlem1  21776  pserdv  21778  perfectlem2  22453  bposlem2  22508  pntibndlem2  22724  pntlemb  22730  pntlem3  22742  tpr2rico  26195  fibp1  26631  lgamgulmlem2  26863  lgamgulmlem3  26864  lgamucov  26871  heicant  28267  itg2addnc  28287  rrnequiv  28575  pellfundex  29069  rmspecfund  29092  acongeq  29168  jm3.1lem2  29209  climinf  29622  wallispilem4  29706
  Copyright terms: Public domain W3C validator