MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem1 15523
Description: Lemma for vdw 15536. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem1.r (𝜑𝑅 ∈ Fin)
vdwlem1.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
vdwlem1.w (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
vdwlem1.f (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
vdwlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
vdwlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
vdwlem1.d (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
vdwlem1.s (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
vdwlem1.i (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
vdwlem1.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
Assertion
Ref Expression
vdwlem1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝑖,𝐹   𝑖,𝑀   𝜑,𝑖   𝑅,𝑖   𝑖,𝑊

Proof of Theorem vdwlem1
Dummy variables 𝑎 𝑐 𝑑 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 vdwlem1.d . . . . 5 (𝜑𝐷:(1...𝑀)⟶ℕ)
3 vdwlem1.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (1...𝑀))
42, 3ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ ℕ)
5 vdwlem1.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11228 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
7 vdwapun 15516 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
86, 1, 4, 7syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) = ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))))
91nnred 10912 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 vdwlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
11 nnuz 11599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℕ = (ℤ‘1)
1210, 11syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘1))
13 eluzfz1 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑀))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ (1...𝑀))
152, 14ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℕ)
161, 15nnaddcld 10944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℕ)
1716nnred 10912 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ ℝ)
18 vdwlem1.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ℕ)
1918nnred 10912 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
2015nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘1) ∈ ℝ+)
219, 20ltaddrpd 11781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < (𝐴 + (𝐷‘1)))
229, 17, 21ltled 10064 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ≤ (𝐴 + (𝐷‘1)))
23 vdwlem1.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
2423r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}))
25 cnvimass 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ dom 𝐹
26 vdwlem1.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅)
27 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅 → dom 𝐹 = (1...𝑊))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom 𝐹 = (1...𝑊))
2925, 28syl5sseq 3616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ⊆ (1...𝑊))
3124, 30sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (1...𝑊))
32 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
335, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
34 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 = (ℤ‘0)
3533, 34syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0))
36 eluzfz1 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
392ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℕ)
4039nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
4140mul02d 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (0 · (𝐷𝑖)) = 0)
4241oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0))
431adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐴 ∈ ℕ)
4443, 39nnaddcld 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ)
4544nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
4645addid1d 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + 0) = (𝐴 + (𝐷𝑖)))
4742, 46eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
48 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 0 → (𝑚 · (𝐷𝑖)) = (0 · (𝐷𝑖)))
4948oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖))))
5049eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))) ↔ (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖)))))
5150rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ (0...(𝐾 − 1)) ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (0 · (𝐷𝑖)))) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
5238, 47, 51syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖))))
535adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
5453nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
55 vdwapval 15515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℕ) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5654, 44, 39, 55syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ↔ ∃𝑚 ∈ (0...(𝐾 − 1))(𝐴 + (𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝑖)) + (𝑚 · (𝐷𝑖)))))
5752, 56mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)))
5831, 57sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
5958ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊))
60 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 1 → (𝐷𝑖) = (𝐷‘1))
6160oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 1 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷‘1)))
6261eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 1 → ((𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊) ↔ (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊)))
6362rspcv 3278 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑀)(𝐴 + (𝐷𝑖)) ∈ (1...𝑊) → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊)))
6414, 59, 63sylc 63 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊))
65 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 + (𝐷‘1)) ∈ (1...𝑊) → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (𝐷‘1)) ≤ 𝑊)
679, 17, 19, 22, 66letrd 10073 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑊)
681, 11syl6eleq 2698 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘1))
6918nnzd 11357 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℤ)
70 elfz5 12205 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
7168, 69, 70syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∈ (1...𝑊) ↔ 𝐴𝑊))
7267, 71mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝑊))
73 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))
74 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝐹:(1...𝑊)⟶𝑅𝐹 Fn (1...𝑊))
75 fniniseg 6246 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn (1...𝑊) → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7626, 74, 753syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑊) ∧ (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴))))
7772, 73, 76mpbir2and 959 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
7877snssd 4281 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
79 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝐷𝑖) = (𝐷𝐼))
8079oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (𝐴 + (𝐷𝑖)) = (𝐴 + (𝐷𝐼)))
8180, 79oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → ((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) = ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)))
8280fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖))) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
8382sneqd 4137 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
8483imaeq2d 5385 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐼 → (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
8581, 84sseq12d 3597 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝐼 → (((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) ↔ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})))
8685rspcv 3278 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1...𝑀) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐴 + (𝐷𝑖))(AP‘𝐾)(𝐷𝑖)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝑖)))}) → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})))
873, 23, 86sylc 63 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
88 vdwlem1.e . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼))))
8988sneqd 4137 . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝐹𝐴)} = {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))})
9089imaeq2d 5385 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) = (𝐹 “ {(𝐹‘(𝐴 + (𝐷𝐼)))}))
9187, 90sseqtr4d 3605 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
9278, 91unssd 3751 . . . . 5 (𝜑 → ({𝐴} ∪ ((𝐴 + (𝐷𝐼))(AP‘𝐾)(𝐷𝐼))) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
938, 92eqsstrd 3602 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
94 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑))
9594sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
96 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐷𝐼) → (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) = (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)))
9796sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑑 = (𝐷𝐼) → ((𝐴(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) ↔ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
9895, 97rspc2ev 3295 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐼) ∈ ℕ ∧ (𝐴(AP‘(𝐾 + 1))(𝐷𝐼)) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})) → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
991, 4, 93, 98syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
100 fvex 6113 . . . 4 (𝐹𝐴) ∈ V
101 sneq 4135 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐹𝐴) → {𝑐} = {(𝐹𝐴)})
102101imaeq2d 5385 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (𝐹 “ {𝑐}) = (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}))
103102sseq2d 3596 . . . . 5 (𝑐 = (𝐹𝐴) → ((𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
1041032rexbidv 3039 . . . 4 (𝑐 = (𝐹𝐴) → (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}) ↔ ∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)})))
105100, 104spcev 3273 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {(𝐹𝐴)}) → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
10699, 105syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐}))
107 ovex 6577 . . 3 (1...𝑊) ∈ V
108 peano2nn0 11210 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
1096, 108syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
110107, 109, 26vdwmc 15520 . 2 (𝜑 → ((𝐾 + 1) MonoAP 𝐹 ↔ ∃𝑐𝑎 ∈ ℕ ∃𝑑 ∈ ℕ (𝑎(AP‘(𝐾 + 1))𝑑) ⊆ (𝐹 “ {𝑐})))
111106, 110mpbird 246 1 (𝜑 → (𝐾 + 1) MonoAP 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  cun 3538  wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  ccnv 5037  dom cdm 5038  cima 5041   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  APcvdwa 15507   MonoAP cvdwm 15508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-vdwap 15510  df-vdwmc 15511
This theorem is referenced by:  vdwlem6  15528
  Copyright terms: Public domain W3C validator