Theorem elfz5 12205

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz5	⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elfz5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11573	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		eluzel2 11568	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	jca 553	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
4		elfz 12203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
5	4	3expa 1257	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
6	3, 5	sylan 487	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		eluzle 11576	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝐾)
8	7	biantrurd 528	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
10	6, 9	bitr4d 270	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  fzsplit2  12237  fznn0sub2  12315  predfz  12333  bcval5  12967  hashf1  13098  seqcoll  13105  limsupgre  14060  isercolllem2  14244  isercoll  14246  fsumcvg3  14307  fsum0diaglem  14350  climcndslem2  14421  mertenslem1  14455  ncoprmlnprm  15274  pcfac  15441  prmreclem2  15459  prmreclem3  15460  prmreclem5  15462  1arith  15469  vdwlem1  15523  vdwlem3  15525  vdwlem10  15532  sylow1lem1  17836  psrbaglefi  19193  ovoliunlem1  23077  ovolicc2lem4  23095  uniioombllem3  23159  mbfi1fseqlem3  23290  iblcnlem1  23360  plyeq0lem  23770  coeeulem  23784  coeidlem  23797  coeid3  23800  coeeq2  23802  coemulhi  23814  vieta1lem2  23870  birthdaylem2  24479  birthdaylem3  24480  ftalem5  24603  basellem2  24608  basellem3  24609  basellem5  24611  musum  24717  fsumvma2  24739  chpchtsum  24744  lgsne0  24860  lgsquadlem2  24906  rplogsumlem2  24974  dchrisumlem1  24978  dchrisum0lem1  25005  ostth2lem3  25124  constr3pthlem3  26185  eupath2lem3  26506  eupath2  26507  konigsberg  26514  fzsplit3  28940  eulerpartlems  29749  eulerpartlemb  29757  erdszelem7  30433  cvmliftlem7  30527  eupth2lems  41406