MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Unicode version

Theorem elfz5 11431
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10857 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 10853 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 529 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 11429 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 468 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 10860 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 505 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 462 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    <_ cle 9406   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-neg 9585  df-z 10634  df-uz 10849  df-fz 11424
This theorem is referenced by:  fzsplit2  11460  fznn0sub2  11474  bcval5  12077  hashf1  12193  seqcoll  12199  limsupgre  12942  isercolllem2  13126  isercoll  13128  fsumcvg3  13189  fsum0diaglem  13226  climcndslem2  13295  mertenslem1  13326  pcfac  13943  prmreclem2  13960  prmreclem3  13961  prmreclem5  13963  1arith  13970  vdwlem1  14024  vdwlem3  14026  vdwlem10  14033  sylow1lem1  16076  psrbaglefi  17374  psrbaglefiOLD  17375  ovoliunlem1  20826  ovolicc2lem4  20844  uniioombllem3  20906  mbfi1fseqlem3  21036  iblcnlem1  21106  plyeq0lem  21562  coeeulem  21576  coeidlem  21589  coeid3  21592  coeeq2  21594  coemulhi  21605  vieta1lem2  21661  birthdaylem2  22230  birthdaylem3  22231  ftalem5  22298  basellem2  22303  basellem3  22304  basellem5  22306  musum  22415  fsumvma2  22437  chpchtsum  22442  lgsne0  22556  lgsquadlem2  22578  rplogsumlem2  22618  dchrisumlem1  22622  dchrisum0lem1  22649  ostth2lem3  22768  constr3pthlem3  23365  eupath2lem3  23422  eupath2  23423  konigsberg  23430  fzsplit3  25900  eulerpartlems  26590  eulerpartlemb  26598  erdszelem7  26932  cvmliftlem7  27027  predfz  27510
  Copyright terms: Public domain W3C validator