MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Unicode version

Theorem elfz5 11736
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11138 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 11134 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 532 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 11734 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1199 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 11141 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 508 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 258 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    <_ cle 9661   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-neg 9846  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729
This theorem is referenced by:  fzsplit2  11766  fznn0sub2  11838  predfz  11855  bcval5  12442  hashf1  12557  seqcoll  12563  limsupgre  13455  isercolllem2  13639  isercoll  13641  fsumcvg3  13702  fsum0diaglem  13744  climcndslem2  13815  mertenslem1  13847  pcfac  14629  prmreclem2  14646  prmreclem3  14647  prmreclem5  14649  1arith  14656  vdwlem1  14710  vdwlem3  14712  vdwlem10  14719  sylow1lem1  16944  psrbaglefi  18345  psrbaglefiOLD  18346  ovoliunlem1  22207  ovolicc2lem4  22225  uniioombllem3  22288  mbfi1fseqlem3  22418  iblcnlem1  22488  plyeq0lem  22901  coeeulem  22915  coeidlem  22928  coeid3  22931  coeeq2  22933  coemulhi  22945  vieta1lem2  23001  birthdaylem2  23610  birthdaylem3  23611  ftalem5  23733  basellem2  23738  basellem3  23739  basellem5  23741  musum  23850  fsumvma2  23872  chpchtsum  23877  lgsne0  23991  lgsquadlem2  24013  rplogsumlem2  24053  dchrisumlem1  24057  dchrisum0lem1  24084  ostth2lem3  24203  constr3pthlem3  25086  eupath2lem3  25408  eupath2  25409  konigsberg  25416  fzsplit3  28060  eulerpartlems  28818  eulerpartlemb  28826  erdszelem7  29507  cvmliftlem7  29601
  Copyright terms: Public domain W3C validator