MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Unicode version

Theorem elfz5 11676
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11087 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 11083 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 532 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 11674 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1196 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 11090 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 508 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    <_ cle 9625   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669
This theorem is referenced by:  fzsplit2  11706  fznn0sub2  11775  bcval5  12360  hashf1  12468  seqcoll  12474  limsupgre  13263  isercolllem2  13447  isercoll  13449  fsumcvg3  13510  fsum0diaglem  13550  climcndslem2  13621  mertenslem1  13652  pcfac  14273  prmreclem2  14290  prmreclem3  14291  prmreclem5  14293  1arith  14300  vdwlem1  14354  vdwlem3  14356  vdwlem10  14363  sylow1lem1  16414  psrbaglefi  17794  psrbaglefiOLD  17795  ovoliunlem1  21648  ovolicc2lem4  21666  uniioombllem3  21729  mbfi1fseqlem3  21859  iblcnlem1  21929  plyeq0lem  22342  coeeulem  22356  coeidlem  22369  coeid3  22372  coeeq2  22374  coemulhi  22385  vieta1lem2  22441  birthdaylem2  23010  birthdaylem3  23011  ftalem5  23078  basellem2  23083  basellem3  23084  basellem5  23086  musum  23195  fsumvma2  23217  chpchtsum  23222  lgsne0  23336  lgsquadlem2  23358  rplogsumlem2  23398  dchrisumlem1  23402  dchrisum0lem1  23429  ostth2lem3  23548  constr3pthlem3  24333  eupath2lem3  24655  eupath2  24656  konigsberg  24663  fzsplit3  27267  eulerpartlems  27939  eulerpartlemb  27947  erdszelem7  28281  cvmliftlem7  28376  predfz  28860
  Copyright terms: Public domain W3C validator