MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz5 Structured version   Unicode version

Theorem elfz5 11437
Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz5  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )

Proof of Theorem elfz5
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10862 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  ZZ )
2 eluzel2 10858 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
31, 2jca 532 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
4 elfz 11435 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
543expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
63, 5sylan 471 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
7 eluzle 10865 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
87biantrurd 508 . . 3  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
98adantr 465 . 2  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
106, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  K  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  fzsplit2  11466  fznn0sub2  11480  bcval5  12086  hashf1  12202  seqcoll  12208  limsupgre  12951  isercolllem2  13135  isercoll  13137  fsumcvg3  13198  fsum0diaglem  13235  climcndslem2  13305  mertenslem1  13336  pcfac  13953  prmreclem2  13970  prmreclem3  13971  prmreclem5  13973  1arith  13980  vdwlem1  14034  vdwlem3  14036  vdwlem10  14043  sylow1lem1  16088  psrbaglefi  17418  psrbaglefiOLD  17419  ovoliunlem1  20960  ovolicc2lem4  20978  uniioombllem3  21040  mbfi1fseqlem3  21170  iblcnlem1  21240  plyeq0lem  21653  coeeulem  21667  coeidlem  21680  coeid3  21683  coeeq2  21685  coemulhi  21696  vieta1lem2  21752  birthdaylem2  22321  birthdaylem3  22322  ftalem5  22389  basellem2  22394  basellem3  22395  basellem5  22397  musum  22506  fsumvma2  22528  chpchtsum  22533  lgsne0  22647  lgsquadlem2  22669  rplogsumlem2  22709  dchrisumlem1  22713  dchrisum0lem1  22740  ostth2lem3  22859  constr3pthlem3  23494  eupath2lem3  23551  eupath2  23552  konigsberg  23559  fzsplit3  26029  eulerpartlems  26695  eulerpartlemb  26703  erdszelem7  27037  cvmliftlem7  27132  predfz  27615
  Copyright terms: Public domain W3C validator