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Theorem limsupgre 14060
 Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
limsupgre.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
limsupgre ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgre
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11850 . . . 4 < Or ℝ*
21supex 8252 . . 3 sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V
32a1i 11 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ V)
4 limsupval.1 . . 3 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
64limsupgval 14055 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76adantl 481 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
8 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
9 limsupgre.z . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
10 uzssz 11583 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
119, 10eqsstri 3598 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
12 zssre 11261 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3577 . . . . . . . . 9 𝑍 ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑍 ⊆ ℝ)
15 simpl2 1058 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
16 ressxr 9962 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
17 fss 5969 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
1815, 16, 17sylancl 693 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
19 pnfxr 9971 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
214limsuplt 14058 . . . . . . . 8 ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞))
2214, 18, 20, 21syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞))
238, 22mpbid 221 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺𝑛) < +∞)
24 fzfi 12633 . . . . . . . 8 (𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin
2515adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
2726, 9syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚𝑍)
28 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
2925, 27, 28syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))) → (𝐹𝑚) ∈ ℝ)
3029ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ∈ ℝ)
31 fimaxre3 10849 . . . . . . . 8 (((𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
3224, 30, 31sylancr 694 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
33 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
3433ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑎 ∈ ℝ)
354limsupgf 14054 . . . . . . . . . 10 𝐺:ℝ⟶ℝ*
3635ffvelrni 6266 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺𝑎) ∈ ℝ*)
3734, 36syl 17 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) ∈ ℝ*)
38 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3916, 38sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ*)
40 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4235ffvelrni 6266 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℝ → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
4439, 43ifcld 4081 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*)
4519a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → +∞ ∈ ℝ*)
4640ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ)
4713a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑍 ⊆ ℝ)
4847sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
49 xrleid 11859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺𝑛) ∈ ℝ* → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛))
5043, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛))
5118ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
524limsupgle 14056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))))
5347, 51, 41, 43, 52syl211anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺𝑛) ≤ (𝐺𝑛) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))))
5450, 53mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖𝑍 (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛)))
5554r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑛𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛)))
5655imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → (𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛))
5746, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ*)
5839adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ*)
59 xrmax1 11880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺𝑛) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
6057, 58, 59syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
6151ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ*)
6244adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*)
63 xrletr 11865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ* ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) ∧ (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6461, 57, 62, 63syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) ∧ (𝐺𝑛) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6560, 64mpan2d 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → ((𝐹𝑖) ≤ (𝐺𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
6756, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑛𝑖) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
68 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖𝑍)
6968, 9syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
7041flcld 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
72 elfz5 12205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (⌊‘𝑛) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7369, 71, 72syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7411, 68sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
75 flge 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖𝑛𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7646, 74, 75syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖𝑛𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
7773, 76bitr4d 270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖𝑛))
7877biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → 𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)))
79 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
8079ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)
81 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑖 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑖))
8281breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹𝑚) ≤ 𝑟 ↔ (𝐹𝑖) ≤ 𝑟))
8382rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → (∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟 → (𝐹𝑖) ≤ 𝑟))
8478, 80, 83sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ 𝑟)
85 xrmax2 11881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺𝑛) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
8643, 39, 85syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → 𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
88 xrletr 11865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑖) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ* ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑖) ≤ 𝑟𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
8961, 58, 62, 88syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (((𝐹𝑖) ≤ 𝑟𝑟 ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9087, 89mpan2d 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → ((𝐹𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → ((𝐹𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9284, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) ∧ 𝑖𝑛) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9346, 48, 67, 92lecasei 10022 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9493a1d 25 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖𝑍) → (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
9594ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛))))
964limsupgle 14056 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ*) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))))
9747, 51, 34, 44, 96syl211anc 1324 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) ↔ ∀𝑖𝑍 (𝑎𝑖 → (𝐹𝑖) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))))
9895, 97mpbird 246 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) ≤ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)))
9938ltpnfd 11831 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 < +∞)
100 simplrr 797 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑛) < +∞)
101 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) → (𝑟 < +∞ ↔ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞))
102 breq1 4586 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑛) = if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) → ((𝐺𝑛) < +∞ ↔ if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞))
103101, 102ifboth 4074 . . . . . . . . 9 ((𝑟 < +∞ ∧ (𝐺𝑛) < +∞) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞)
10499, 100, 103syl2anc 691 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺𝑛)) < +∞)
10537, 44, 45, 98, 104xrlelttrd 11867 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺𝑎) < +∞)
10632, 105rexlimddv 3017 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑛) < +∞)) → (𝐺𝑎) < +∞)
10723, 106rexlimddv 3017 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) < +∞)
1087, 107eqbrtrrd 4607 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞)
109 imassrn 5396 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
110 frn 5966 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑍⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
11115, 110syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
112109, 111syl5ss 3579 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ)
113112, 16syl6ss 3580 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
114 df-ss 3554 . . . . . . 7 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
115113, 114sylib 207 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
116115, 112eqsstrd 3602 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ)
117 simpl1 1057 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
118 flcl 12458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
119118adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
120119peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℤ)
121120, 117ifcld 4081 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
122117zred 11358 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
123120zred 11358 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
124 max1 11890 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
125122, 123, 124syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
126 eluz2 11569 . . . . . . . . . . 11 (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀)))
127117, 121, 125, 126syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
128127, 9syl6eleqr 2699 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
129 fdm 5964 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑍⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑍)
13015, 129syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑍)
131128, 130eleqtrrd 2691 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
132121zred 11358 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
133 fllep1 12464 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
134133adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
135 max2 11892 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
136122, 123, 135syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
13733, 123, 132, 134, 136letrd 10073 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
138 elicopnf 12140 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
139138adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
140132, 137, 139mpbir2and 959 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞))
141 inelcm 3984 . . . . . . . 8 ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞)) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
142131, 140, 141syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
143 imadisj 5403 . . . . . . . 8 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) = ∅)
144143necon3bii 2834 . . . . . . 7 ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
145142, 144sylibr 223 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
146115, 145eqnetrd 2849 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅)
147 supxrre1 12032 . . . . 5 ((((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ ∧ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*) ≠ ∅) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
148116, 146, 147syl2anc 691 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) < +∞))
149108, 148mpbird 246 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ)
1507, 149eqeltrd 2688 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺𝑎) ∈ ℝ)
1513, 5, 150fmpt2d 6300 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  [,)cico 12048  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  lim supclsp 14049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fl 12455  df-limsup 14050 This theorem is referenced by:  mbflimsup  23239
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