Theorem eluzle 11576

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 11569	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1071	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  uztrn  11580  uzneg  11582  uzss  11584  uz11  11586  eluzp1l  11588  uzm1  11594  uzin  11596  uzind4  11622  uzwo  11627  uzsupss  11656  zgt1rpn0n1  11747  elfz5  12205  elfzle1  12215  elfzle2  12216  elfzle3  12218  ssfzunsn  12257  uzsplit  12281  uzdisj  12282  uznfz  12292  elfz2nn0  12300  uzsubfz0  12316  nn0disj  12324  fzouzdisj  12373  fldiv4lem1div2uz2  12499  m1modge3gt1  12579  expmulnbnd  12858  seqcoll  13105  swrdlen2  13297  swrdfv2  13298  rexuzre  13940  rlimclim1  14124  isercoll  14246  iseralt  14263  o1fsum  14386  mertenslem1  14455  fprodeq0  14544  efcllem  14647  rpnnen2lem9  14790  smuval2  15042  smupvallem  15043  isprm7  15258  hashdvds  15318  pcmpt2  15435  pcfaclem  15440  pcfac  15441  vdwlem6  15528  ramtlecl  15542  prmlem1  15652  prmlem2  15665  znfld  19728  lmnn  22869  mbflimsup  23239  mbfi1fseqlem6  23293  dvfsumge  23589  plyco0  23752  coeeulem  23784  radcnvlem2  23972  log2tlbnd  24472  lgamgulmlem4  24558  lgamcvg2  24581  chtub  24737  chpval2  24743  chpchtsum  24744  bcmax  24803  bpos1lem  24807  bpos1  24808  bposlem3  24811  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem6  24814  lgslem1  24822  lgsdirprm  24856  lgseisen  24904  m1lgs  24913  dchrisumlema  24977  dchrisumlem2  24979  dchrisum0lem1  25005  axlowdimlem3  25624  axlowdimlem6  25627  axlowdimlem7  25628  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  constr3trllem3  26180  minvecolem3  27116  minvecolem4  27120  subfacval3  30425  climuzcnv  30819  knoppndvlem6  31678  poimirlem29  32608  fdc  32711  jm2.24nn  36544  jm2.23  36581  expdiophlem1  36606  hashnzfz2  37542  bccbc  37566  binomcxplemnn0  37570  ssinc  38292  ssdec  38293  fzdifsuc2  38466  uzfissfz  38483  iuneqfzuzlem  38491  ssuzfz  38506  fmul01lt1lem1  38651  climsuselem1  38674  climsuse  38675  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem11  38904  stirlinglem11  38977  fourierdlem79  39078  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  vonioolem1  39571  fmtnoprmfac1  40015  fmtnoprmfac2lem1  40016  lighneallem2  40061  lighneallem4a  40063  gboage9  40186  bgoldbnnsum3prm  40220  nnolog2flm1  42182