Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ncoprmlnprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ncoprmlnprm 15274
 Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmlnprm ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))

Proof of Theorem ncoprmlnprm
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncoprmgcdgt1b 15202 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) ↔ 1 < (𝐴 gcd 𝐵)))
21bicomd 212 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
323adant3 1074 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) ↔ ∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵)))
4 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℕ)
5 eluzelz 11573 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℤ)
64, 5anim12ci 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ))
7 dvdsle 14870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖𝐴))
9 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
10 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eluzelre 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → 𝑖 ∈ ℝ)
129, 10, 113anim123i 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
13 3anrot 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ))
1412, 13sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
15 lelttr 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑖𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑖 < 𝐵))
1716expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))
18173exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
1918com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 < 𝐵 → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵)))))
20193imp1 1272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 < 𝐵))
2120imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 < 𝐵)
22 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
23223ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
2423, 5anim12ci 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ))
26 zltlem1 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → (𝑖 < 𝐵𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
2821, 27mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖𝐴) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
2928ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
308, 29syld 46 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖𝐴𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3130com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑖𝐴 → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
3332impcom 445 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ≤ (𝐵 − 1))
34 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
36353ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℤ)
3736anim1i 590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐵 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)))
3837ancomd 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ))
40 elfz5 12205 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ↔ 𝑖 ≤ (𝐵 − 1)))
4233, 41mpbird 246 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖 ∈ (2...(𝐵 − 1)))
43 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
4443adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝐵𝑖𝐵))
45 simprr 792 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝑖𝐵)
4642, 44, 45rspcedvd 3289 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
47 rexnal 2978 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
48 notnotb 303 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝐵 ↔ ¬ ¬ 𝑗𝐵)
4948bicomi 213 . . . . . . . . 9 (¬ ¬ 𝑗𝐵𝑗𝐵)
5049rexbii 3023 . . . . . . . 8 (∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
5147, 50bitr3i 265 . . . . . . 7 (¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵 ↔ ∃𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1))𝑗𝐵)
5246, 51sylibr 223 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵)
5352olcd 407 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
54 df-nel 2783 . . . . . 6 (𝐵 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝐵 ∈ ℙ)
55 ianor 508 . . . . . . 7 (¬ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵) ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
56 isprm3 15234 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℙ ↔ (𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5755, 56xchnxbir 322 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5854, 57bitri 263 . . . . 5 (𝐵 ∉ ℙ ↔ (¬ 𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∨ ¬ ∀𝑗 ∈ (2...(𝐵 − 1)) ¬ 𝑗𝐵))
5953, 58sylibr 223 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑖𝐴𝑖𝐵)) → 𝐵 ∉ ℙ)
6059ex 449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
6160rexlimdva 3013 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑖 ∈ (ℤ‘2)(𝑖𝐴𝑖𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
623, 61sylbid 229 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (1 < (𝐴 gcd 𝐵) → 𝐵 ∉ ℙ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197   ∥ cdvds 14821   gcd cgcd 15054  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224 This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15599
 Copyright terms: Public domain W3C validator