Theorem ncoprmlnprm 14677

Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ncoprmlnprm	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( 1 < ( A gcd B ) -> B e/ Prime ) )

Proof of Theorem ncoprmlnprm

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ncoprmgcdgt1b 14656	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) <-> 1 < ( A gcd B ) ) )
2	1	bicomd 205	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 1 < ( A gcd B ) <-> E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) ) )
3	2	3adant3 1028	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( 1 < ( A gcd B ) <-> E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) ) )
4		simp1 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> A e. NN )
5		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> i e. ZZ )
6	4, 5	anim12ci 571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. ZZ /\ A e. NN ) )
7		dvdsle 14350	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. ZZ /\ A e. NN ) -> ( i || A -> i <_ A ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i || A -> i <_ A ) )
9		nnre 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. NN -> A e. RR )
10		nnre 10616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( B e. NN -> B e. RR )
11		eluzelre 11169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> i e. RR )
12	9, 10, 11	3anim123i 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ i e. RR ) )
13		3anrot 990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) <-> ( A e. RR /\ B e. RR /\ i e. RR ) )
14	12, 13	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) )
15		lelttr 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( i <_ A /\ A < B ) -> i < B ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( i <_ A /\ A < B ) -> i < B ) )
17	16	expcomd 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A < B -> ( i <_ A -> i < B ) ) )
18	17	3exp 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A < B -> ( i <_ A -> i < B ) ) ) ) )
19	18	com34 86	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( A < B -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( i <_ A -> i < B ) ) ) ) )
20	19	3imp1 1222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i <_ A -> i < B ) )
21	20	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> i < B )
22		nnz 10959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
23	22	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> B e. ZZ )
24	23, 5	anim12ci 571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
25	24	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> ( i e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
26		zltlem1 10989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( i < B <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> ( i < B <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
28	21, 27	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ i <_ A ) -> i <_ ( B - 1 ) )
29	28	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i <_ A -> i <_ ( B - 1 ) ) )
30	8, 29	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i || A -> i <_ ( B - 1 ) ) )
31	30	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( i || A -> ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> i <_ ( B - 1 ) ) )
32	31	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i || A /\ i || B ) -> ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> i <_ ( B - 1 ) ) )
33	32	impcom 432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> i <_ ( B - 1 ) )
34		peano2zm 10980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
35	22, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. NN -> ( B - 1 ) e. ZZ )
36	35	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
37	36	anim1i 572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( B - 1 ) e. ZZ /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
38	37	ancomd 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) )
40		elfz5 11792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( B - 1 ) e. ZZ ) -> ( i e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( i e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) <-> i <_ ( B - 1 ) ) )
42	33, 41	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> i e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) )
43		breq1 4405	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( j || B <-> i || B ) )
44	43	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) /\ j = i ) -> ( j || B <-> i || B ) )
45		simprr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> i || B )
46	42, 44, 45	rspcedvd 3155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) j || B )
47		rexnal 2836	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. -. j || B <-> -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B )
48		notnot 293	. . . . . . . . . 10 |- ( j || B <-> -. -. j || B )
49	48	bicomi 206	. . . . . . . . 9 |- ( -. -. j || B <-> j || B )
50	49	rexbii 2889	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. -. j || B <-> E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) j || B )
51	47, 50	bitr3i 255	. . . . . . 7 |- ( -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B <-> E. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) j || B )
52	46, 51	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B )
53	52	olcd 395	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
54		df-nel 2625	. . . . . 6 |- ( B e/ Prime <-> -. B e. Prime )
55		ianor 491	. . . . . . 7 |- ( -. ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) <-> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
56		isprm3 14633	. . . . . . 7 |- ( B e. Prime <-> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
57	55, 56	xchnxbir 311	. . . . . 6 |- ( -. B e. Prime <-> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
58	54, 57	bitri 253	. . . . 5 |- ( B e/ Prime <-> ( -. B e. ( ZZ>= ` 2 ) \/ -. A. j e. ( 2 ... ( B - 1 ) ) -. j || B ) )
59	53, 58	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( i || A /\ i || B ) ) -> B e/ Prime )
60	59	ex 436	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) /\ i e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( i || A /\ i || B ) -> B e/ Prime ) )
61	60	rexlimdva 2879	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( E. i e. ( ZZ>= ` 2 ) ( i || A /\ i || B ) -> B e/ Prime ) )
62	3, 61	sylbid 219	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ A < B ) -> ( 1 < ( A gcd B ) -> B e/ Prime ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   e. wcel 1887   e/ wnel 2623   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   || cdvds 14305   gcd cgcd 14468   Primecprime 14622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623

This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15027