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Theorem ncoprmlnprm 14677
Description: If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
ncoprmlnprm  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  (
1  <  ( A  gcd  B )  ->  B  e/  Prime ) )

Proof of Theorem ncoprmlnprm
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ncoprmgcdgt1b 14656 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. i  e.  ( ZZ>= `  2 )
( i  ||  A  /\  i  ||  B )  <->  1  <  ( A  gcd  B ) ) )
21bicomd 205 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <  ( A  gcd  B )  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  2 )
( i  ||  A  /\  i  ||  B ) ) )
323adant3 1028 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  (
1  <  ( A  gcd  B )  <->  E. i  e.  ( ZZ>= `  2 )
( i  ||  A  /\  i  ||  B ) ) )
4 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  A  e.  NN )
5 eluzelz 11168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  i  e.  ZZ )
64, 5anim12ci 571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  e.  ZZ  /\  A  e.  NN ) )
7 dvdsle 14350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( i  ||  A  ->  i  <_  A )
)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  ||  A  ->  i  <_  A )
)
9 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
10 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
11 eluzelre 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  i  e.  RR )
129, 10, 113anim123i 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )
13 3anrot 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( i  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  <->  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  i  e.  RR ) )
1412, 13sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( i  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
15 lelttr 9724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( i  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( i  <_  A  /\  A  <  B )  ->  i  <  B
) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
i  <_  A  /\  A  <  B )  -> 
i  <  B )
)
1716expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  <  B  ->  ( i  <_  A  ->  i  <  B ) ) )
18173exp 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( i  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  <  B  ->  (
i  <_  A  ->  i  <  B ) ) ) ) )
1918com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( i  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( i  <_  A  ->  i  <  B ) ) ) ) )
20193imp1 1222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  <_  A  ->  i  <  B ) )
2120imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  i  <_  A )  ->  i  <  B )
22 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
23223ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  B  e.  ZZ )
2423, 5anim12ci 571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  i  <_  A )  ->  ( i  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
26 zltlem1 10989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( i  <  B  <->  i  <_  ( B  - 
1 ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  i  <_  A )  ->  ( i  <  B  <->  i  <_  ( B  -  1 ) ) )
2821, 27mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  i  <_  A )  ->  i  <_  ( B  -  1 ) )
2928ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  <_  A  ->  i  <_  ( B  -  1 ) ) )
308, 29syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  ||  A  ->  i  <_  ( B  -  1 ) ) )
3130com12 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i 
||  A  ->  (
( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  i  <_  ( B  -  1 ) ) )
3231adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  ||  A  /\  i  ||  B )  -> 
( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  i  <_  ( B  -  1 ) ) )
3332impcom 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  -> 
i  <_  ( B  -  1 ) )
34 peano2zm 10980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
36353ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  ( B  -  1 )  e.  ZZ )
3736anim1i 572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( B  - 
1 )  e.  ZZ  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
3837ancomd 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( B  -  1
)  e.  ZZ ) )
3938adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  -> 
( i  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( B  -  1
)  e.  ZZ ) )
40 elfz5 11792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( B  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( i  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  <-> 
i  <_  ( B  -  1 ) ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  -> 
( i  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  <-> 
i  <_  ( B  -  1 ) ) )
4233, 41mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  -> 
i  e.  ( 2 ... ( B  - 
1 ) ) )
43 breq1 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  i  ->  (
j  ||  B  <->  i  ||  B ) )
4443adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  /\  j  =  i )  ->  ( j  ||  B  <->  i 
||  B ) )
45 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  -> 
i  ||  B )
4642, 44, 45rspcedvd 3155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  ->  E. j  e.  (
2 ... ( B  - 
1 ) ) j 
||  B )
47 rexnal 2836 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  ( 2 ... ( B  - 
1 ) )  -. 
-.  j  ||  B  <->  -. 
A. j  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  -.  j  ||  B
)
48 notnot 293 . . . . . . . . . 10  |-  ( j 
||  B  <->  -.  -.  j  ||  B )
4948bicomi 206 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
-.  j  ||  B  <->  j 
||  B )
5049rexbii 2889 . . . . . . . 8  |-  ( E. j  e.  ( 2 ... ( B  - 
1 ) )  -. 
-.  j  ||  B  <->  E. j  e.  ( 2 ... ( B  - 
1 ) ) j 
||  B )
5147, 50bitr3i 255 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. j  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  -.  j  ||  B  <->  E. j  e.  ( 2 ... ( B  - 
1 ) ) j 
||  B )
5246, 51sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  ->  -.  A. j  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  -.  j  ||  B
)
5352olcd 395 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  -> 
( -.  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  \/  -.  A. j  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  -.  j  ||  B ) )
54 df-nel 2625 . . . . . 6  |-  ( B  e/  Prime  <->  -.  B  e.  Prime )
55 ianor 491 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( B  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. j  e.  ( 2 ... ( B  - 
1 ) )  -.  j  ||  B )  <-> 
( -.  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  \/  -.  A. j  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  -.  j  ||  B ) )
56 isprm3 14633 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Prime  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. j  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  -.  j  ||  B
) )
5755, 56xchnxbir 311 . . . . . 6  |-  ( -.  B  e.  Prime  <->  ( -.  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  \/  -.  A. j  e.  ( 2 ... ( B  - 
1 ) )  -.  j  ||  B ) )
5854, 57bitri 253 . . . . 5  |-  ( B  e/  Prime  <->  ( -.  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  \/  -.  A. j  e.  ( 2 ... ( B  -  1 ) )  -.  j  ||  B ) )
5953, 58sylibr 216 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  < 
B )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( i  ||  A  /\  i  ||  B ) )  ->  B  e/  Prime )
6059ex 436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  /\  i  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( i  ||  A  /\  i  ||  B
)  ->  B  e/  Prime ) )
6160rexlimdva 2879 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  ( E. i  e.  ( ZZ>=
`  2 ) ( i  ||  A  /\  i  ||  B )  ->  B  e/  Prime ) )
623, 61sylbid 219 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <  B )  ->  (
1  <  ( A  gcd  B )  ->  B  e/  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    e. wcel 1887    e/ wnel 2623   A.wral 2737   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784    || cdvds 14305    gcd cgcd 14468   Primecprime 14622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14306  df-gcd 14469  df-prm 14623
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15027
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