Theorem eluzelre 11574

Description: A member of an upper set of integers is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelre	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Proof of Theorem eluzelre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11573	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zred 11358	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  ℝcr 9814  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  eluzelcn  11575  uzm1  11594  ssfzunsn  12257  uzsplit  12281  fzneuz  12290  fzouzsplit  12372  fzouzdisj  12373  eluzgtdifelfzo  12397  elfzonelfzo  12436  fldiv4lem1div2uz2  12499  mulp1mod1  12573  m1modge3gt1  12579  om2uzlt2i  12612  bernneq3  12854  hashfzp1  13078  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  rexuzre  13940  rlimclim1  14124  climrlim2  14126  isprm5  15257  isprm7  15258  ncoprmlnprm  15274  dfphi2  15317  pclem  15381  pcmpt  15434  pockthg  15448  prmlem1  15652  prmlem2  15665  setsstruct  15727  mtest  23962  logbleb  24321  isppw  24640  chtdif  24684  chtub  24737  fsumvma2  24739  chpval2  24743  bpos1lem  24807  bpos1  24808  gausslemma2dlem4  24894  chebbnd1lem1  24958  dchrisumlem2  24979  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  extwwlkfablem2  26605  fzspl  28938  supfz  30866  nn0prpwlem  31487  rmspecsqrtnq  36488  rmspecsqrtnqOLD  36489  rmspecnonsq  36490  rmspecfund  36492  rmspecpos  36499  rmxypos  36532  ltrmynn0  36533  ltrmxnn0  36534  jm2.24nn  36544  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  jm2.17c  36547  jm3.1lem1  36602  jm3.1lem2  36603  climsuselem1  38674  climsuse  38675  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  itgspltprt  38871  stoweidlem14  38907  wallispilem3  38960  stirlinglem11  38977  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  iccpartigtl  39961  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtno4prmfac  40022  lighneallem4a  40063  gboage9  40186  nnsum3primesle9  40210  bgoldbnnsum3prm  40220  bgoldbtbndlem3  40223  bgoldbtbndlem4  40224  bgoldbtbnd  40225  crctcsh1wlkn0lem5  41017  av-extwwlkfablem2  41510  expnegico01  42102  fllog2  42160  dignn0ldlem  42194  dignnld  42195  digexp  42199  dignn0flhalf  42210