Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  constr3pthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem constr3pthlem3 26185
 Description: Lemma for constr3pth 26188. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
constr3cycl.f 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
Assertion
Ref Expression
constr3pthlem3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)

Proof of Theorem constr3pthlem3
StepHypRef Expression
1 constr3cycl.f . . 3 𝐹 = {⟨0, (𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
2 constr3cycl.p . . 3 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
31, 2constr3lem2 26174 . 2 (#‘𝐹) = 3
4 preq2 4213 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 3 → {0, (#‘𝐹)} = {0, 3})
54imaeq2d 5385 . . . 4 ((#‘𝐹) = 3 → (𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) = (𝑃 “ {0, 3}))
6 oveq2 6557 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 3 → (1..^(#‘𝐹)) = (1..^3))
76imaeq2d 5385 . . . 4 ((#‘𝐹) = 3 → (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) = (𝑃 “ (1..^3)))
85, 7ineq12d 3777 . . 3 ((#‘𝐹) = 3 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))))
91, 2constr3lem6 26177 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅)
101, 2constr3trllem4 26181 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃:(0...3)⟶𝑉)
11 ffn 5958 . . . . . . . . 9 (𝑃:(0...3)⟶𝑉𝑃 Fn (0...3))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝑃 Fn (0...3))
13 3nn0 11187 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
14 elnn0uz 11601 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ‘0))
1513, 14mpbi 219 . . . . . . . . 9 3 ∈ (ℤ‘0)
16 eluzfz1 12219 . . . . . . . . 9 (3 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...3))
1715, 16mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 0 ∈ (0...3))
18 eluzfz2 12220 . . . . . . . . 9 (3 ∈ (ℤ‘0) → 3 ∈ (0...3))
1915, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 3 ∈ (0...3))
20 fnimapr 6172 . . . . . . . 8 ((𝑃 Fn (0...3) ∧ 0 ∈ (0...3) ∧ 3 ∈ (0...3)) → (𝑃 “ {0, 3}) = {(𝑃‘0), (𝑃‘3)})
2112, 17, 19, 20syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃 “ {0, 3}) = {(𝑃‘0), (𝑃‘3)})
22 3z 11287 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
23 fzoval 12340 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℤ → (1..^3) = (1...(3 − 1)))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1..^3) = (1...(3 − 1))
25 3m1e2 11014 . . . . . . . . . . 11 (3 − 1) = 2
2625oveq2i 6560 . . . . . . . . . 10 (1...(3 − 1)) = (1...2)
2724, 26eqtri 2632 . . . . . . . . 9 (1..^3) = (1...2)
2827imaeq2i 5383 . . . . . . . 8 (𝑃 “ (1..^3)) = (𝑃 “ (1...2))
29 df-2 10956 . . . . . . . . . . . 12 2 = (1 + 1)
3029oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = (1...(1 + 1))
31 1z 11284 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
32 fzpr 12266 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
34 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) = 2
3534preq2i 4216 . . . . . . . . . . 11 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
3630, 33, 353eqtri 2636 . . . . . . . . . 10 (1...2) = {1, 2}
3736imaeq2i 5383 . . . . . . . . 9 (𝑃 “ (1...2)) = (𝑃 “ {1, 2})
38 1eluzge0 11608 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (ℤ‘0)
39 1le3 11121 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≤ 3
40 elfz5 12205 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ 1 ≤ 3))
4139, 40mpbiri 247 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → 1 ∈ (0...3))
4238, 22, 41mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0...3)
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 1 ∈ (0...3))
44 2eluzge0 11609 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘0)
45 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
46 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℝ
47 2lt3 11072 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
4845, 46, 47ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≤ 3
49 elfz5 12205 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ (ℤ‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ 2 ≤ 3))
5048, 49mpbiri 247 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ (ℤ‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∈ (0...3))
5144, 22, 50mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (0...3)
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 2 ∈ (0...3))
53 fnimapr 6172 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 Fn (0...3) ∧ 1 ∈ (0...3) ∧ 2 ∈ (0...3)) → (𝑃 “ {1, 2}) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
5412, 43, 52, 53syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃 “ {1, 2}) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
5537, 54syl5eq 2656 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃 “ (1...2)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
5628, 55syl5eq 2656 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝑃 “ (1..^3)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
5721, 56ineq12d 3777 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
5857eqeq1d 2612 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → (((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ∅ ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅))
5958adantr 480 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → (((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ∅ ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅))
609, 59mpbird 246 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ∅)
618, 60sylan9eq 2664 . 2 (((#‘𝐹) = 3 ∧ ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
623, 61mpan 702 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  constr3pth  26188
 Copyright terms: Public domain W3C validator