Theorem constr3pthlem3 26185

Description: Lemma for constr3pth 26188. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr3cycl.f	⊢ 𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
constr3cycl.p	⊢ 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})

Assertion

Ref	Expression
constr3pthlem3	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)

Proof of Theorem constr3pthlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr3cycl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨0, (◡𝐸‘{𝐴, 𝐵})⟩, ⟨1, (◡𝐸‘{𝐵, 𝐶})⟩, ⟨2, (◡𝐸‘{𝐶, 𝐴})⟩}
2		constr3cycl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐴⟩})
3	1, 2	constr3lem2 26174	. 2 ⊢ (#‘𝐹) = 3
4		preq2 4213	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐹) = 3 → {0, (#‘𝐹)} = {0, 3})
5	4	imaeq2d 5385	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) = 3 → (𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) = (𝑃 “ {0, 3}))
6		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐹) = 3 → (1..^(#‘𝐹)) = (1..^3))
7	6	imaeq2d 5385	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) = 3 → (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹))) = (𝑃 “ (1..^3)))
8	5, 7	ineq12d 3777	. . 3 ⊢ ((#‘𝐹) = 3 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))))
9	1, 2	constr3lem6 26177	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅)
10	1, 2	constr3trllem4 26181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑃:(0...3)⟶𝑉)
11		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → 𝑃 Fn (0...3))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑃 Fn (0...3))
13		3nn0 11187	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
14		elnn0uz 11601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (ℤ≥‘0))
15	13, 14	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ (ℤ≥‘0)
16		eluzfz1 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...3))
17	15, 16	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (0...3))
18		eluzfz2 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ (ℤ≥‘0) → 3 ∈ (0...3))
19	15, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 3 ∈ (0...3))
20		fnimapr 6172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 Fn (0...3) ∧ 0 ∈ (0...3) ∧ 3 ∈ (0...3)) → (𝑃 “ {0, 3}) = {(𝑃‘0), (𝑃‘3)})
21	12, 17, 19, 20	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃 “ {0, 3}) = {(𝑃‘0), (𝑃‘3)})
22		3z 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		fzoval 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℤ → (1..^3) = (1...(3 − 1)))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^3) = (1...(3 − 1))
25		3m1e2 11014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 − 1) = 2
26	25	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
27	24, 26	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^3) = (1...2)
28	27	imaeq2i 5383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ (1..^3)) = (𝑃 “ (1...2))
29		df-2 10956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
30	29	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
31		1z 11284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
32		fzpr 12266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
33	31, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
34		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + 1) = 2
35	34	preq2i 4216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
36	30, 33, 35	3eqtri 2636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1...2) = {1, 2}
37	36	imaeq2i 5383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 “ (1...2)) = (𝑃 “ {1, 2})
38		1eluzge0 11608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
39		1le3 11121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≤ 3
40		elfz5 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ 1 ≤ 3))
41	39, 40	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → 1 ∈ (0...3))
42	38, 22, 41	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0...3)
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 1 ∈ (0...3))
44		2eluzge0 11609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘0)
45		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
46		3re 10971	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℝ
47		2lt3 11072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 3
48	45, 46, 47	ltleii 10039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≤ 3
49		elfz5 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ 2 ≤ 3))
50	48, 49	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → 2 ∈ (0...3))
51	44, 22, 50	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (0...3)
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 2 ∈ (0...3))
53		fnimapr 6172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 Fn (0...3) ∧ 1 ∈ (0...3) ∧ 2 ∈ (0...3)) → (𝑃 “ {1, 2}) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
54	12, 43, 52, 53	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃 “ {1, 2}) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
55	37, 54	syl5eq 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃 “ (1...2)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
56	28, 55	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃 “ (1..^3)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
57	21, 56	ineq12d 3777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
58	57	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ∅ ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → (((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ∅ ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘3)} ∩ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}) = ∅))
60	9, 59	mpbird 246	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → ((𝑃 “ {0, 3}) ∩ (𝑃 “ (1..^3))) = ∅)
61	8, 60	sylan9eq 2664	. 2 ⊢ (((#‘𝐹) = 3 ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
62	3, 61	mpan 702	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  constr3pth  26188