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Theorem iblcnlem1 23360
 Description: Lemma for iblcnlem 23361. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnlem.r 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.s 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.t 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem.u 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
itgcnlem1.v ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
iblcnlem1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem iblcnlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2611 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
2 eqidd 2611 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
3 itgcnlem1.v . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3isibl2 23339 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
5 c0ex 9913 . . . . . . . 8 0 ∈ V
6 1ex 9914 . . . . . . . 8 1 ∈ V
7 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
8 exp0 12726 . . . . . . . . . . 11 (i ∈ ℂ → (i↑0) = 1)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (i↑0) = 1
109itgvallem 23357 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))))
1110eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ))
12 exp1 12728 . . . . . . . . . . 11 (i ∈ ℂ → (i↑1) = i)
137, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (i↑1) = i
1413itgvallem 23357 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
1514eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ))
165, 6, 11, 15ralpr 4185 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ))
173div1d 10672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 1) = 𝐵)
1817fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / 1)) = (ℜ‘𝐵))
1918ibllem 23337 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))
2019mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
2120fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0))))
22 itgcnlem.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵)), (ℜ‘𝐵), 0)))
2321, 22syl6eqr 2662 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) = 𝑅)
2423eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑅 ∈ ℝ))
25 itgcnlem.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)))
26 imval 13695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
273, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / i)))
2827ibllem 23337 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))
2928mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0)))
3029fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℑ‘𝐵)), (ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))))
3125, 30syl5req 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) = 𝑇)
3231eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑇 ∈ ℝ))
3324, 32anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝜑 → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 1))), (ℜ‘(𝐵 / 1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / i))), (ℜ‘(𝐵 / i)), 0))) ∈ ℝ) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ)))
3416, 33syl5bb 271 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ)))
35 2ex 10969 . . . . . . . 8 2 ∈ V
36 3ex 10973 . . . . . . . 8 3 ∈ V
37 i2 12827 . . . . . . . . . 10 (i↑2) = -1
3837itgvallem 23357 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 2 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
3938eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = 2 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ))
40 i3 12828 . . . . . . . . . 10 (i↑3) = -i
4140itgvallem 23357 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 3 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
4241eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝑘 = 3 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ))
4335, 36, 39, 42ralpr 4185 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ))
44 itgcnlem.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)))
453renegd 13797 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
46 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
4746negnegi 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 --1 = 1
4847oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝐵 / --1) = (-𝐵 / 1)
493negcld 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℂ)
5049div1d 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / 1) = -𝐵)
5148, 50syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = -𝐵)
5246negcli 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ∈ ℂ
53 neg1ne0 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -1 ≠ 0
54 div2neg 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
5552, 53, 54mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
563, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --1) = (𝐵 / -1))
5751, 56eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 = (𝐵 / -1))
5857fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘-𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
5945, 58eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℜ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -1)))
6059ibllem 23337 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))
6160mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0)))
6261fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)), -(ℜ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))))
6344, 62syl5req 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) = 𝑆)
6463eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑆 ∈ ℝ))
65 itgcnlem.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)))
66 imval 13695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
6749, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = (ℜ‘(-𝐵 / i)))
683imnegd 13798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℑ‘-𝐵) = -(ℑ‘𝐵))
697negnegi 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 --i = i
7069eqcomi 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i = --i
7170oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝐵 / i) = (-𝐵 / --i)
727negcli 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i ∈ ℂ
73 ine0 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i ≠ 0
747, 73negne0i 10235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -i ≠ 0
75 div2neg 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ -i ≠ 0) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
7672, 74, 75mp3an23 1408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ ℂ → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / --i) = (𝐵 / -i))
7871, 77syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → (-𝐵 / i) = (𝐵 / -i))
7978fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(-𝐵 / i)) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
8067, 68, 793eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → -(ℑ‘𝐵) = (ℜ‘(𝐵 / -i)))
8180ibllem 23337 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))
8281mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0)))
8382fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘𝐵)), -(ℑ‘𝐵), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))))
8465, 83syl5req 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) = 𝑈)
8584eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ ↔ 𝑈 ∈ ℝ))
8664, 85anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝜑 → (((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -1))), (ℜ‘(𝐵 / -1)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / -i))), (ℜ‘(𝐵 / -i)), 0))) ∈ ℝ) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
8743, 86syl5bb 271 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
8834, 87anbi12d 743 . . . . 5 (𝜑 → ((∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) ↔ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
89 1le3 11121 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 3
90 1eluzge0 11608 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (ℤ‘0)
91 3z 11287 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
92 elfz5 12205 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ (ℤ‘0) ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ 1 ≤ 3))
9390, 91, 92mp2an 704 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0...3) ↔ 1 ≤ 3)
9489, 93mpbir 220 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0...3)
95 fzsplit 12238 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0...3) → (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)))
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0...3) = ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3))
97 0z 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
98 fzpr 12266 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
9997, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
100 1e0p1 11428 . . . . . . . . . . 11 1 = (0 + 1)
101100oveq2i 6560 . . . . . . . . . 10 (0...1) = (0...(0 + 1))
102100preq2i 4216 . . . . . . . . . 10 {0, 1} = {0, (0 + 1)}
10399, 101, 1023eqtr4i 2642 . . . . . . . . 9 (0...1) = {0, 1}
104 2z 11286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
105 fzpr 12266 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)})
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2...(2 + 1)) = {2, (2 + 1)}
107 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
108 df-3 10957 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
109107, 108oveq12i 6561 . . . . . . . . . 10 ((1 + 1)...3) = (2...(2 + 1))
110108preq2i 4216 . . . . . . . . . 10 {2, 3} = {2, (2 + 1)}
111106, 109, 1103eqtr4i 2642 . . . . . . . . 9 ((1 + 1)...3) = {2, 3}
112103, 111uneq12i 3727 . . . . . . . 8 ((0...1) ∪ ((1 + 1)...3)) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
11396, 112eqtri 2632 . . . . . . 7 (0...3) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
114113raleqi 3119 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
115 ralunb 3756 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3})(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
116114, 115bitri 263 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))
117 an4 861 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)) ↔ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))
11888, 116, 1173bitr4g 302 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ ↔ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
119118anbi2d 736 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)))))
120 3anass 1035 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ)) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
121119, 120syl6bbr 277 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
1224, 121bitrd 267 1 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ∪ cun 3538  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   ≤ cle 9954  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  3c3 10948  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  ℜcre 13685  ℑcim 13686  MblFncmbf 23189  ∫2citg2 23191  𝐿1cibl 23192 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-ibl 23197 This theorem is referenced by:  iblcnlem  23361  iblcn  23371  bddiblnc  32650
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