Theorem ine0 10344

Description: The imaginary unit i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	⊢ i ≠ 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 9884	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
2	1	neii 2784	. . 3 ⊢ ¬ 1 = 0
3		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (i · 0))
4		ax-icn 9874	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mul01i 10105	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	3, 5	syl6req 2661	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = (i · i))
7	6	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (i = 0 → (0 + 1) = ((i · i) + 1))
8		ax-1cn 9873	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	addid2i 10103	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
10		ax-i2m1 9883	. . . 4 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
11	7, 9, 10	3eqtr3g 2667	. . 3 ⊢ (i = 0 → 1 = 0)
12	2, 11	mto 187	. 2 ⊢ ¬ i = 0
13	12	neir 2785	1 ⊢ i ≠ 0

Syntax hints:   = wceq 1475   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  inelr  10887  2muline0  11133  irec  12826  iexpcyc  12831  imre  13696  reim  13697  crim  13703  cjreb  13711  cnpart  13828  tanval2  14702  tanval3  14703  efival  14721  sinhval  14723  retanhcl  14728  tanhlt1  14729  tanhbnd  14730  itgz  23353  ibl0  23359  iblcnlem1  23360  itgcnlem  23362  iblss  23377  iblss2  23378  itgss  23384  itgeqa  23386  iblconst  23390  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  itgsplit  23408  dvsincos  23548  efeq1  24079  tanregt0  24089  efif1olem4  24095  eflogeq  24152  cxpsqrtlem  24248  root1eq1  24296  ang180lem1  24339  ang180lem2  24340  ang180lem3  24341  atandm2  24404  2efiatan  24445  atantan  24450  dvatan  24462  atantayl2  24465  log2cnv  24471  logi  30873  iexpire  30874  iblmulc2nc  32645  ftc1anclem6  32660  proot1ex  36798  iblsplit  38858  sinh-conventional  42279