Theorem iblconst 23390

Description: A constant function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iblconst	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem iblconst

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5085	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
2		mbfconst 23208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)
3	2	3adant2 1073	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ MblFn)
4	1, 3	syl5eqelr 2693	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
5		ifan 4084	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0)
6	5	mpteq2i 4669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0))
7	6	fveq2i 6106	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0)))
8		simpl1 1057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴 ∈ dom vol)
9		simpl2 1058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (vol‘𝐴) ∈ ℝ)
10		simpl3 1059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		elfzelz 12213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℤ)
13		ax-icn 9874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ∈ ℂ
14		ine0 10344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ i ≠ 0
15		expclz 12747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
16	13, 14, 15	mp3an12 1406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
18		expne0i 12754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
19	13, 14, 18	mp3an12 1406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
20	12, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ≠ 0)
21	10, 17, 20	divcld 10680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝐵 / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
22	21	recld 13782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
23		0re 9919	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
24		ifcl 4080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
25	22, 23, 24	sylancl 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
26		max1 11890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
27	23, 22, 26	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))
28		elrege0 12149	. . . . . . . 8 ⊢ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,)+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
29	25, 27, 28	sylanbrc 695	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,)+∞))
30		itg2const 23313	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0))) = (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)))
31	8, 9, 29, 30	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0), 0))) = (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)))
32	7, 31	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) = (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)))
33	25, 9	remulcld 9949	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0) · (vol‘𝐴)) ∈ ℝ)
34	32, 33	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
35	34	ralrimiva 2949	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
36		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0)))
37		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))))
38		simpl3 1059	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
39	36, 37, 38	isibl2 23339	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈ (0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐵 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)))
40	4, 35, 39	mpbir2and 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
41	1, 40	syl5eqel 2692	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 × {𝐵}) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  ici 9817   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  3c3 10948  ℤcz 11254  [,)cico 12048  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  ℜcre 13685  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  ∫₂citg2 23191  𝐿¹cibl 23192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-0p 23243

This theorem is referenced by:  itgconst  23391  bddibl  23412  ftc1lem4  23606  itgulm  23966  ftc1cnnclem  32653  iblconstmpt  38847  itgiccshift  38872  itgperiod  38873  itgsbtaddcnst  38874