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Theorem ftc1lem4 23606

Description: Lemma for ftc1 23609. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ftc1.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
ftc1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
ftc1.s	⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿¹)
ftc1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j	⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾_t ℝ)
ftc1.k	⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾_t 𝐷)
ftc1.l	⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂ_fld)
ftc1.h	⊢ 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺‘𝑧) − (𝐺‘𝐶)) / (𝑧 − 𝐶)))
ftc1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
ftc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
ftc1.fc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)
ftc1.y1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.y2	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝐶)) < 𝑅)

**Assertion**
Ref	Expression
ftc1lem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Distinct variable groups: 𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶 𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧 𝑦,𝐺,𝑧 𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧 𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧 𝑡,𝑋,𝑥,𝑧 𝑡,𝐸,𝑦 𝑦,𝐻 𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧 𝑡,𝑌,𝑥 𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧 𝑥,𝐿,𝑦,𝑧 𝑦,𝑅 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥,𝑧,𝑡) 𝐸(𝑥,𝑧) 𝐺(𝑥,𝑡) 𝐻(𝑥,𝑧,𝑡) 𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡) 𝐿(𝑡) 𝑋(𝑦) 𝑌(𝑦,𝑧)

**Proof of Theorem ftc1lem4**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.a	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ftc1.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		iccssre 12126	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5		ftc1.x1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6	4, 5	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
7		ftc1.y1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	4, 7	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
9		ltle 10005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
10	6, 8, 9	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≤ 𝑌))
11	10	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≤ 𝑌)
12		ftc1.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
13		ftc1.le	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
14		ftc1.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
15		ftc1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
16		ftc1.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐿¹)
17		ftc1.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18		ftc1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
19		ftc1.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐽 = (𝐿 ↾_t ℝ)
20		ftc1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (𝐿 ↾_t 𝐷)
21		ftc1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = (TopOpen‘ℂ_fld)
22	12, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ftc1lem3 23605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
23	12, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 22, 5, 7	ftc1lem1 23602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
24	11, 23	syldan 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
25	1	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
26		elicc2 12109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
27	1, 2, 26	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
28	5, 27	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵))
29	28	simp2d 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝑋)
30		iooss1 12081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
31	25, 29, 30	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
32	2	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
33		elicc2 12109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
34	1, 2, 33	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵)))
35	7, 34	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝐵))
36	35	simp3d 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝐵)
37		iooss2 12082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
38	32, 36, 37	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
39	31, 38	sstrd 3578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
40	39, 14	sstrd 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
41	40	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ 𝐷)
42	22	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
43	41, 42	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
44	14, 17	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
45	22, 44	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
47	43, 46	npcand 10275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) + (𝐹‘𝐶)) = (𝐹‘𝑡))
48	47	itgeq2dv 23354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) + (𝐹‘𝐶)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡)
49	43, 46	subcld 10271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) ∈ ℂ)
50		ioombl 23140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
52		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹‘𝑡) ∈ V
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑡) ∈ V)
54	22	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)))
55	54, 16	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿¹)
56	40, 51, 53, 55	iblss 23377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿¹)
57		fconstmpt 5085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝐶)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶))
58		mblvol 23105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
59	50, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
60		ioossicc 12130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
62		iccmbl 23141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
63	6, 8, 62	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
64		mblss 23106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
66		mblvol 23105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
67	63, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
68		iccvolcl 23142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
69	6, 8, 68	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
70	67, 69	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
71		ovolsscl 23061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
72	61, 65, 70, 71	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
73	59, 72	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
74		iblconst 23390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝐶)}) ∈ 𝐿¹)
75	51, 73, 45, 74	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹‘𝐶)}) ∈ 𝐿¹)
76	57, 75	syl5eqelr 2693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹‘𝐶)) ∈ 𝐿¹)
77	43, 56, 46, 76	iblsub 23394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) ∈ 𝐿¹)
78	49, 77, 46, 76	itgadd 23397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) + (𝐹‘𝐶)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡))
79	48, 78	eqtr3d 2646	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡))
81		itgconst 23391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡 = ((𝐹‘𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
82	51, 73, 45, 81	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡 = ((𝐹‘𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡 = ((𝐹‘𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
84	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
85	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
86		ovolioo 23143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
87	84, 85, 11, 86	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
88	59, 87	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
89	88	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋)))
90	83, 89	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡 = ((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋)))
91	90	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹‘𝐶) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋))))
92	24, 80, 91	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋))))
93	92	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)))
94		ovex 6577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) ∈ V
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) ∈ V)
96	95, 77	itgcl 23356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
97	96	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
98	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
99	8, 6	resubcld 10337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
101	100	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
102	98, 101	mulcld 9939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
103	6, 8	posdifd 10493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌 − 𝑋)))
104	103	biimpa 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌 − 𝑋))
105	104	gt0ne0d 10471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑌 − 𝑋) ≠ 0)
106	97, 102, 101, 105	divdird 10718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 + ((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋))) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))))
107	98, 101, 105	divcan4d 10686	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = (𝐹‘𝐶))
108	107	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (((𝐹‘𝐶) · (𝑌 − 𝑋)) / (𝑌 − 𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝐶)))
109	93, 106, 108	3eqtrd 2648	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝐶)))
110	109	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶)) = (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝐶)) − (𝐹‘𝐶)))
111	97, 101, 105	divcld 10680	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
112	111, 98	pncand 10272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)) + (𝐹‘𝐶)) − (𝐹‘𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)))
113	110, 112	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋)))
114	113	fveq2d 6107	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))))
115	97, 101, 105	absdivd 14042	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡 / (𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))))
116		0re 9919	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
117		ltle 10005	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
118	116, 100, 117	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌 − 𝑋) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋)))
119	104, 118	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌 − 𝑋))
120	100, 119	absidd 14009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌 − 𝑋)) = (𝑌 − 𝑋))
121	120	oveq2d 6565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌 − 𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
122	114, 115, 121	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)))
123	96	abscld 14023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
124	123	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
125	49	abscld 14023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) ∈ ℝ)
126	95, 77	iblabs 23401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) ∈ 𝐿¹)
127	125, 126	itgrecl 23370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
128	127	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
129		ftc1.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ⁺)
130	129	rpred 11748	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
131	99, 130	remulcld 9949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
132	131	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
133	49, 77	itgabs 23407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡)
134	133	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡)
135	104, 88	breqtrrd 4611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (vol‘(𝑋(,)𝑌)))
136	130	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
137		fconstmpt 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
138	130	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
139		iblconst 23390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿¹)
140	51, 73, 138, 139	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿¹)
141	137, 140	syl5eqelr 2693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿¹)
142	136, 141, 125, 126	iblsub 23394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))))) ∈ 𝐿¹)
143	142	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))))) ∈ 𝐿¹)
144		ftc1.fc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
145	144	ralrimiva 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
146	145	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
147	15, 44	sseldd 3569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
148		ftc1.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
149	148	rpred 11748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
150	147, 149	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝑅) ∈ ℝ)
151	150	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 − 𝑅) ∈ ℝ)
152	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
153	40, 15	sstrd 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
154	153	sselda 3568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
155		ftc1.x2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅)
156	6, 147, 149	absdifltd 14020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑋 − 𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐶 + 𝑅))))
157	155, 156	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑅) < 𝑋 ∧ 𝑋 < (𝐶 + 𝑅)))
158	157	simpld 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝑅) < 𝑋)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 − 𝑅) < 𝑋)
160		eliooord 12104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
161	160	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 𝑌))
162	161	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
163	151, 152, 154, 159, 162	lttrd 10077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 − 𝑅) < 𝑡)
164	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
165	147, 149	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
166	165	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
167	161	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
168		ftc1.y2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑌 − 𝐶)) < 𝑅)
169	8, 147, 149	absdifltd 14020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑌 − 𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))))
170	168, 169	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝑅) < 𝑌 ∧ 𝑌 < (𝐶 + 𝑅)))
171	170	simprd 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
172	171	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
173	154, 164, 166, 167, 172	lttrd 10077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝐶 + 𝑅))
174	147	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℝ)
175	149	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
176	154, 174, 175	absdifltd 14020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡 − 𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶 − 𝑅) < 𝑡 ∧ 𝑡 < (𝐶 + 𝑅))))
177	163, 173, 176	mpbir2and 959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡 − 𝐶)) < 𝑅)
178		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝑦 − 𝐶) = (𝑡 − 𝐶))
179	178	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦 − 𝐶)) = (abs‘(𝑡 − 𝐶)))
180	179	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡 − 𝐶)) < 𝑅))
181		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑡))
182	181	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶)) = ((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))
183	182	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) = (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))))
184	183	breq1d 4593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸))
185	180, 184	imbi12d 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)))
186	185	rspcv 3278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐷 → (∀𝑦 ∈ 𝐷 ((abs‘(𝑦 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑦) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡 − 𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)))
187	41, 146, 177, 186	syl3c 64	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)
188		difrp 11744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) ∈ ℝ⁺))
189	125, 136, 188	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) ∈ ℝ⁺))
190	187, 189	mpbid 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) ∈ ℝ⁺)
191	190	adantlr 747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) ∈ ℝ⁺)
192	135, 143, 191	itggt0 23414	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) d𝑡)
193	136, 141, 125, 126	itgsub 23398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡))
194	193	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡))
195		itgconst 23391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
196	51, 73, 138, 195	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
197	196	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
198	88	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)))
199	99	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
200	138, 199	mulcomd 9940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
201	200	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
202	197, 198, 201	3eqtrd 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
203	202	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡) = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡))
204	194, 203	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)))) d𝑡 = (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡))
205	192, 204	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡))
206	127, 131	posdifd 10493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡)))
207	206	biimpar 501	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌 − 𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
208	205, 207	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶))) d𝑡 < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
209	124, 128, 132, 134, 208	lelttrd 10074	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸))
210	97	abscld 14023	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
211	130	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
212		ltdivmul 10777	. . . 4 ⊢ (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌 − 𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
213	210, 211, 100, 104, 212	syl112anc 1322	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) < ((𝑌 − 𝑋) · 𝐸)))
214	209, 213	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹‘𝑡) − (𝐹‘𝐶)) d𝑡) / (𝑌 − 𝑋)) < 𝐸)
215	122, 214	eqbrtrd 4605	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺‘𝑌) − (𝐺‘𝑋)) / (𝑌 − 𝑋)) − (𝐹‘𝐶))) < 𝐸)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ∖ cdif 3537 ⊆ wss 3540 {csn 4125 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 × cxp 5036 dom cdm 5038 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 + caddc 9818 · cmul 9820 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 / cdiv 10563 ℝ⁺crp 11708 (,)cioo 12046 [,]cicc 12049 abscabs 13822 ↾_t crest 15904 TopOpenctopn 15905 ℂ_fldccnfld 19567 CnP ccnp 20839 vol*covol 23038 volcvol 23039 𝐿¹cibl 23192 ∫citg 23193

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cc 9140 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894 ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-iin 4458 df-disj 4554 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-of 6795 df-ofr 6796 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-supp 7183 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-omul 7452 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-ixp 7795 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-fsupp 8159 df-fi 8200 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-acn 8651 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xneg 11822 df-xadd 11823 df-xmul 11824 df-ioo 12050 df-ioc 12051 df-ico 12052 df-icc 12053 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-clim 14067 df-rlim 14068 df-sum 14265 df-struct 15697 df-ndx 15698 df-slot 15699 df-base 15700 df-sets 15701 df-ress 15702 df-plusg 15781 df-mulr 15782 df-starv 15783 df-sca 15784 df-vsca 15785 df-ip 15786 df-tset 15787 df-ple 15788 df-ds 15791 df-unif 15792 df-hom 15793 df-cco 15794 df-rest 15906 df-topn 15907 df-0g 15925 df-gsum 15926 df-topgen 15927 df-pt 15928 df-prds 15931 df-xrs 15985 df-qtop 15990 df-imas 15991 df-xps 15993 df-mre 16069 df-mrc 16070 df-acs 16072 df-mgm 17065 df-sgrp 17107 df-mnd 17118 df-submnd 17159 df-mulg 17364 df-cntz 17573 df-cmn 18018 df-psmet 19559 df-xmet 19560 df-met 19561 df-bl 19562 df-mopn 19563 df-cnfld 19568 df-top 20521 df-bases 20522 df-topon 20523 df-topsp 20524 df-cn 20841 df-cnp 20842 df-cmp 21000 df-tx 21175 df-hmeo 21368 df-xms 21935 df-ms 21936 df-tms 21937 df-cncf 22489 df-ovol 23040 df-vol 23041 df-mbf 23194 df-itg1 23195 df-itg2 23196 df-ibl 23197 df-itg 23198 df-0p 23243

This theorem is referenced by: ftc1lem5 23607

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