Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem5 23607
 Description: Lemma for ftc1 23609. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem5 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ioossicc 12130 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8 ftc1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
97, 8sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
104, 9sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
116, 10lttri2d 10055 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)))
1211biimpa 500 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋))
135adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
146adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
1614, 15ltned 10052 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋𝐶)
17 eldifsn 4260 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋𝐶))
1813, 16, 17sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑋 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑋))
2019oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)))
21 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐶) = (𝑋𝐶))
2220, 21oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
23 ftc1.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
24 ovex 6577 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
2618, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
27 ftc1.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
28 ftc1.le . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
29 ftc1.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30 ftc1.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
31 ftc1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
32 ftc1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33 ftc1.j . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (𝐿t ℝ)
34 ftc1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
35 ftc1.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35ftc1lem3 23605 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3727, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36ftc1lem2 23603 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3837, 5ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
3937, 9ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39subcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
4140adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
426recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4310recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4442, 43subcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4642, 43subeq0ad 10281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
4746necon3bid 2826 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋𝐶))
4847biimpar 501 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
4916, 48syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
5041, 45, 49div2negd 10695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
5138, 39negsubdi2d 10287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)))
5242, 43negsubdi2d 10287 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑋𝐶) = (𝐶𝑋))
5351, 52oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5453adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5526, 50, 543eqtr2d 2650 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5655oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶)) = ((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶)))
5756fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))))
58 ftc1.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
59 ftc1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
60 ftc1.fc . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
61 ftc1.x2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
6243subidd 10259 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐶) = 0)
6362abs00bd 13879 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) = 0)
6459rpgt0d 11751 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑅)
6563, 64eqbrtrd 4605 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) < 𝑅)
6627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 58, 59, 60, 5, 61, 9, 65ftc1lem4 23606 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
6757, 66eqbrtrd 4605 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
685adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6910adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
70 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
7169, 70gtned 10051 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋𝐶)
7268, 71, 17sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
7372, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
7473oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → ((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶)) = ((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶)))
7574fveq2d 6107 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))))
7627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 58, 59, 60, 9, 65, 5, 61ftc1lem4 23606 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7775, 76eqbrtrd 4605 . . 3 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7867, 77jaodan 822 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7912, 78syldan 486 1 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  abscabs 13822   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ℂfldccnfld 19567   CnP ccnp 20839  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243 This theorem is referenced by:  ftc1lem6  23608
 Copyright terms: Public domain W3C validator