Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 23608
 Description: Lemma for ftc1 23609. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑧   𝑧,𝐺   𝑡,𝐴,𝑥,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑧   𝜑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑧   𝑥,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9 ftc1.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿t ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 23605 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
145, 8sseldd 3569 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1513, 14ffvelrnd 6268 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
16 cnxmet 22386 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 ax-resscn 9872 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
186, 17syl6ss 3580 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐷 ⊆ ℂ)
20 xmetres2 21976 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2116, 19, 20sylancr 694 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2216a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
23 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
2412cnfldtopn 22395 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 22139 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2811, 27syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2928oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6105 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
319, 30eleqtrd 2690 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
33 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 22160 . . . . 5 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1319 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
36 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3714ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶𝐷)
3836, 37ovresd 6699 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (𝑦(abs ∘ − )𝐶))
3918adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4039sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
41 iccssre 12126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
422, 3, 41syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4342, 17syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
44 ioossicc 12130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4544, 8sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4643, 45sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4746ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4948cnmetdval 22384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5040, 47, 49syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5138, 50eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5251breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣))
5313adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
5515ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5648cnmetdval 22384 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5754, 55, 56syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5857breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
5952, 58imbi12d 333 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
6059ralbidva 2968 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
61 simprll 798 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
62 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → 𝑠𝐶)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠𝐶)
642ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐵 ∈ ℝ)
664ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴𝐵)
675ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
686ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
697ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
719ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
73 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
74 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
76 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑢 → (𝑦𝐶) = (𝑢𝐶))
7776fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑢𝐶)))
7877breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣))
79 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑢 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑢))
8079oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑢 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶)))
8180fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))))
8281breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8378, 82imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
8483rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8575, 84sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8661eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
87 simprr 792 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 23607 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑠𝐶) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8963, 88mpdan 699 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
9089expr 641 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9190adantld 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9291expr 641 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9392ralrimdva 2952 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9460, 93sylbid 229 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9594anassrs 678 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9695reximdva 3000 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9735, 96mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9897ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 23603 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10099, 43, 45dvlem 23466 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
101100, 72fmptd 6292 . . 3 (𝜑𝐻:((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})⟶ℂ)
10243ssdifssd 3710 . . 3 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
103101, 102, 46ellimc3 23449 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))))
10415, 98, 103mpbir2and 959 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℝ+crp 11708  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  abscabs 13822   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  MetOpencmopn 19557  ℂfldccnfld 19567   CnP ccnp 20839  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193   limℂ climc 23432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436 This theorem is referenced by:  ftc1  23609
 Copyright terms: Public domain W3C validator