Theorem pncand 10272

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem pncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan 10166	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  mvlraddd  10323  mvrraddd  10324  addlsub  10326  pnpncand  10331  pncan1  10333  eluzmn  11570  icoshftf1o  12166  xov1plusxeqvd  12189  zesq  12849  brfi1indlem  13133  ccatval3  13216  fsumrev2  14356  binom1dif  14404  fprodp1  14538  risefacp1  14599  fallfacp1  14600  bpolydiflem  14624  sadcp1  15015  smupp1  15040  hashdvds  15318  pythagtriplem4  15362  pythagtriplem6  15364  pythagtriplem7  15365  pythagtriplem12  15369  pythagtriplem14  15371  pcqdiv  15400  mulgdirlem  17395  cayhamlem1  20490  blhalf  22020  pjthlem1  23016  ovolicopnf  23099  i1faddlem  23266  itg1addlem4  23272  ftc1lem4  23606  aaliou3lem8  23904  taylthlem2  23932  ulmshft  23948  efif1olem2  24093  efif1olem4  24095  quart1lem  24382  asinsin  24419  efiatan2  24444  logdiflbnd  24521  harmonicbnd4  24537  lgamgulmlem2  24556  lgamcvg2  24581  relgamcl  24588  ftalem1  24599  ftalem2  24600  bcctr  24800  pcbcctr  24801  bcp1ctr  24804  2sqblem  24956  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem3  25025  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  colinearalglem4  25589  axpaschlem  25620  wwlknimp  26215  wwlknred  26251  wwlknredwwlkn  26254  wwlkextproplem2  26270  clwlkisclwwlklem1  26315  clwlkisclwwlklem0  26316  clwwlkf  26322  wwlkext2clwwlk  26331  rusgra0edg  26482  eupatrl  26495  numclwwlk2lem1  26629  numclwlk2lem2f  26630  pjhthlem1  27634  psgnfzto1stlem  29181  madjusmdetlem2  29222  dya2icoseg  29666  iwrdsplit  29776  fibp1  29790  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlemsgt1  29899  ballotlemsel1i  29901  ballotlemsima  29904  ballotlem1ri  29923  signstfvn  29972  bcprod  30877  bccolsum  30878  unblimceq0  31668  knoppndvlem6  31678  bj-bary1lem1  32338  sin2h  32569  itg2addnclem  32631  itg2addnclem3  32633  ftc1cnnclem  32653  areacirclem4  32673  ssbnd  32757  jm2.19lem4  36577  jm2.23  36581  jm3.1lem1  36602  itgpowd  36819  int-eqmvtd  37514  hashnzfzclim  37543  dvradcnv2  37568  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemnotnn0  37577  nnsplit  38515  iccshift  38591  iooshift  38595  climinf  38673  limcperiod  38695  0ellimcdiv  38716  cncfshift  38759  cncfperiod  38764  dvdsn1add  38829  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  itgiccshift  38872  itgperiod  38873  stoweidlem17  38910  wallispilem4  38961  wallispilem5  38962  stirlinglem1  38967  stirlinglem5  38971  stirlinglem6  38972  stirlinglem10  38976  dirkertrigeqlem2  38992  fourierdlem14  39014  fourierdlem19  39019  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem64  39063  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem81  39080  fourierdlem92  39091  fourierdlem97  39096  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  etransclem9  39136  nnfoctbdjlem  39348  wwlksnred  41098  wwlksnredwwlkn  41101  wwlksnextproplem2  41116  clwlkclwwlklem2  41209  clwlkclwwlklem3  41210  clwwlksf  41222  wwlksext2clwwlk  41231  eucrct2eupth  41413  av-numclwwlk2lem1  41532  av-numclwlk2lem2f  41533  fldivmod  42107  mvlladdd  42322  mvrladdd  42324