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Theorem ftc1lem4 19876
Description: Lemma for ftc1 19879. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
ftc1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftc1.fc  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
ftc1.x1  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1.x2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R )
ftc1.y1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
ftc1.y2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  <  E
)
Distinct variable groups:    x, t,
y, z, C    t, D, x, y, z    y, G, z    t, A, x, y, z    t, B, x, y, z    t, X, x, z    t, E, y    y, H    ph, t, x, y, z    t, Y, x    t, F, x, y, z    x, L, y, z    y, R
Allowed substitution hints:    R( x, z, t)    E( x, z)    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, y, z, t)    K( x, y, z, t)    L( t)    X( y)    Y( y, z)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 iccssre 10948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
5 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
64, 5sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
7 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
84, 7sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
9 ltle 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
106, 8, 9syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  ->  X  <_  Y )
)
1110imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  <_  Y )
12 ftc1.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
13 ftc1.le . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
14 ftc1.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
15 ftc1.d . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
16 ftc1.i . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  L ^1 )
17 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
18 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
19 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( Lt  RR )
20 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  ( Lt  D )
21 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
2212, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ftc1lem3 19875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
2312, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 22, 5, 7ftc1lem1 19872 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
2411, 23syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
251rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
26 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
271, 2, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
285, 27mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) )
2928simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
30 iooss1 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  X )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) Y ) )
3125, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) Y ) )
322rexrd 9090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
33 elicc2 10931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
341, 2, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
357, 34mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) )
3635simp3d 971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
37 iooss2 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  Y  <_  B )  ->  ( A (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3832, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
3931, 38sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
4039, 14sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  D )
4140sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  D )
4222ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4341, 42syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4414, 17sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4522, 44ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
4645adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
4743, 46npcand 9371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  =  ( F `  t
) )
4847itgeq2dv 19626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  _d t  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
4943, 46subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e.  CC )
50 ioombl 19412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
52 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5422feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
5554, 16eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
5640, 51, 53, 55iblss 19649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L ^1 )
57 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { ( F `
 C ) } )  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  ( F `
 C ) )
58 mblvol 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X (,) Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  =  ( vol * `  ( X (,) Y
) ) )
5950, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( vol * `  ( X (,) Y ) )
60 ioossicc 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X (,) Y )  C_  ( X [,] Y )
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y ) )
62 iccmbl 19413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
636, 8, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  e.  dom  vol )
64 mblss 19380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( X [,] Y ) 
C_  RR )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( X [,] Y
)  C_  RR )
66 mblvol 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X [,] Y )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol * `  ( X [,] Y
) ) )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  =  ( vol * `  ( X [,] Y
) ) )
68 iccvolcl 19414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
696, 8, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
7067, 69eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( X [,] Y ) )  e.  RR )
71 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X (,) Y
)  C_  ( X [,] Y )  /\  ( X [,] Y )  C_  RR  /\  ( vol * `  ( X [,] Y
) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( X (,) Y
) )  e.  RR )
7261, 65, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
7359, 72syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR )
74 iblconst 19662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { ( F `  C ) } )  e.  L ^1 )
7551, 73, 45, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  {
( F `  C
) } )  e.  L ^1 )
7657, 75syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  C
) )  e.  L ^1 )
7743, 56, 46, 76iblsub 19666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  e.  L ^1 )
7849, 77, 46, 76itgadd 19669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  +  ( F `  C ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t ) )
7948, 78eqtr3d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t ) )
8079adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  C
)  _d t ) )
81 itgconst 19663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C
)  _d t  =  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
8251, 73, 45, 81syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t  =  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C )  _d t  =  ( ( F `  C
)  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
846adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  X  e.  RR )
858adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  Y  e.  RR )
86 ovolioo 19415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  RR  /\  Y  e.  RR  /\  X  <_  Y )  ->  ( vol * `  ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X ) )
8784, 85, 11, 86syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol * `
 ( X (,) Y ) )  =  ( Y  -  X
) )
8859, 87syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( vol `  ( X (,) Y
) )  =  ( Y  -  X ) )
8988oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  C )  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) ) )
9083, 89eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `  C )  _d t  =  ( ( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) ) )
9190oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 C )  _d t )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
9224, 80, 913eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  +  ( ( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) ) ) )
9392oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
) )
94 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e. 
_V
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  e. 
_V )
9695, 77itgcl 19628 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  e.  CC )
9796adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  e.  CC )
9845adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
998, 6resubcld 9421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  RR )
10099adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  RR )
101100recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  e.  CC )
10298, 101mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X
) )  e.  CC )
1036, 8posdifd 9569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  <  Y  <->  0  <  ( Y  -  X ) ) )
104103biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( Y  -  X ) )
105104gt0ne0d 9547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( Y  -  X )  =/=  0
)
10697, 102, 101, 105divdird 9784 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  +  ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
) )  /  ( Y  -  X )
)  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X ) )  / 
( Y  -  X
) ) ) )
10798, 101, 105divcan4d 9752 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( F `  C
)  x.  ( Y  -  X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( F `  C
) )
108107oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( ( ( F `  C )  x.  ( Y  -  X )
)  /  ( Y  -  X ) ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t  /  ( Y  -  X ) )  +  ( F `  C ) ) )
10993, 106, 1083eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( G `  Y
)  -  ( G `
 X ) )  /  ( Y  -  X ) )  =  ( ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  C ) ) )
110109oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( ( ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) )  +  ( F `  C ) )  -  ( F `
 C ) ) )
11197, 101, 105divcld 9746 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t  / 
( Y  -  X
) )  e.  CC )
112111, 98pncand 9368 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
)  +  ( F `
 C ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
113110, 112eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( ( G `  Y )  -  ( G `  X )
)  /  ( Y  -  X ) )  -  ( F `  C ) )  =  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )
114113fveq2d 5691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  =  ( abs `  ( S. ( X (,) Y
) ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) )  _d t  / 
( Y  -  X
) ) ) )
11597, 101, 105absdivd 12212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t  /  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( abs `  ( Y  -  X )
) ) )
116 0re 9047 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
117 ltle 9119 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Y  -  X
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( Y  -  X
)  ->  0  <_  ( Y  -  X ) ) )
118116, 100, 117sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( 0  <  ( Y  -  X )  ->  0  <_  ( Y  -  X
) ) )
119104, 118mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <_  ( Y  -  X ) )
120100, 119absidd 12180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( Y  -  X
) )  =  ( Y  -  X ) )
121120oveq2d 6056 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t )  / 
( abs `  ( Y  -  X )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
122114, 115, 1213eqtrd 2440 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
) )  -  ( F `  C )
) )  =  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) ) )
12396abscld 12193 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  e.  RR )
124123adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  e.  RR )
12549abscld 12193 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  e.  RR )
12695, 77iblabs 19673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  L ^1 )
127125, 126itgrecl 19642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  _d t  e.  RR )
128127adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  e.  RR )
129 ftc1.e . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
130129rpred 10604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
13199, 130remulcld 9072 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E
)  e.  RR )
132131adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( Y  -  X )  x.  E )  e.  RR )
13349, 77itgabs 19679 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t )
134133adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <_  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t )
135104, 88breqtrrd 4198 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )
136130adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  E  e.  RR )
137 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X (,) Y )  X.  { E }
)  =  ( t  e.  ( X (,) Y )  |->  E )
138130recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
139 iblconst 19662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  (
( X (,) Y
)  X.  { E } )  e.  L ^1 )
14051, 73, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X (,) Y )  X.  { E } )  e.  L ^1 )
141137, 140syl5eqelr 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  E )  e.  L ^1 )
142136, 141, 125, 126iblsub 19666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) ) ) )  e.  L ^1 )
143142adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) ) )  e.  L ^1 )
144 ftc1.fc . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
145144ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) )
146145adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
R  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  E
) )
14715, 44sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
148 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
149148rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
150147, 149resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  R
)  e.  RR )
151150adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  e.  RR )
1526adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  e.  RR )
15340, 15sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  RR )
154153sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  RR )
155 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R )
1566, 147, 149absdifltd 12191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  -  C )
)  <  R  <->  ( ( C  -  R )  <  X  /\  X  < 
( C  +  R
) ) ) )
157155, 156mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  R )  <  X  /\  X  <  ( C  +  R ) ) )
158157simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  -  R
)  <  X )
159158adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  <  X
)
160 eliooord 10926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( X (,) Y )  ->  ( X  <  t  /\  t  <  Y ) )
161160adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( X  <  t  /\  t  < 
Y ) )
162161simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  X  <  t )
163151, 152, 154, 159, 162lttrd 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  -  R )  <  t
)
1648adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  e.  RR )
165147, 149readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  +  R
)  e.  RR )
166165adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( C  +  R )  e.  RR )
167161simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  Y )
168 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R )
1698, 147, 149absdifltd 12191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Y  -  C )
)  <  R  <->  ( ( C  -  R )  <  Y  /\  Y  < 
( C  +  R
) ) ) )
170168, 169mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  R )  <  Y  /\  Y  <  ( C  +  R ) ) )
171170simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  <  ( C  +  R ) )
172171adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  Y  <  ( C  +  R ) )
173154, 164, 166, 167, 172lttrd 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  <  ( C  +  R ) )
174147adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  C  e.  RR )
175149adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  R  e.  RR )
176154, 174, 175absdifltd 12191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( t  -  C ) )  < 
R  <->  ( ( C  -  R )  < 
t  /\  t  <  ( C  +  R ) ) ) )
177163, 173, 176mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R
)
178 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
y  -  C )  =  ( t  -  C ) )
179178fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
t  -  C ) ) )
180179breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  <->  ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R
) )
181 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( F `  y )  =  ( F `  t ) )
182181oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) )
183182fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) )
184183breq1d 4182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E  <->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  <  E
) )
185180, 184imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E )  <-> 
( ( abs `  (
t  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) ) )
186185rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  R  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E )  ->  ( ( abs `  ( t  -  C
) )  <  R  ->  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E ) ) )
18741, 146, 177, 186syl3c 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) )  <  E
)
188 difrp 10601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  RR+ ) )
189125, 136, 188syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( F `  C ) ) )  <  E  <->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  e.  RR+ ) )
190187, 189mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  e.  RR+ )
191190adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  X  <  Y )  /\  t  e.  ( X (,) Y
) )  ->  ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  e.  RR+ )
192135, 143, 191itggt0 19686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  S. ( X (,) Y
) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) ) )  _d t )
193136, 141, 125, 126itgsub 19670 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
194193adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  _d t  =  ( S. ( X (,) Y
) E  _d t  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t ) )
195 itgconst 19663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X (,) Y
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( X (,) Y ) )  e.  RR  /\  E  e.  CC )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
19651, 73, 138, 195syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) ) )
197196adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y
) ) ) )
19888oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( vol `  ( X (,) Y ) ) )  =  ( E  x.  ( Y  -  X ) ) )
19999recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  -  X
)  e.  CC )
200138, 199mulcomd 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  ( Y  -  X )
)  =  ( ( Y  -  X )  x.  E ) )
201200adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( E  x.  ( Y  -  X
) )  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
202197, 198, 2013eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) E  _d t  =  ( ( Y  -  X
)  x.  E ) )
203202oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( S. ( X (,) Y ) E  _d t  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t )  =  ( ( ( Y  -  X )  x.  E )  -  S. ( X (,) Y
) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
204194, 203eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( E  -  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
) ) )  _d t  =  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t ) )
205192, 204breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )
206127, 131posdifd 9569 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E )  <->  0  <  ( ( ( Y  -  X
)  x.  E )  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t ) ) )
207206biimpar 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( ( ( Y  -  X )  x.  E
)  -  S. ( X (,) Y ) ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( F `
 C ) ) )  _d t ) )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
208205, 207syldan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  S. ( X (,) Y ) ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) ) )  _d t  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) )
209124, 128, 132, 134, 208lelttrd 9184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
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ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  e.  RR )
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)  _d t )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( ( Y  -  X )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  -  X
) ) )  -> 
( ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  /  ( Y  -  X )
)  <  E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C ) )  _d t )  <  (
( Y  -  X
)  x.  E ) ) )
213210, 211, 100, 104, 212syl112anc 1188 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( (
( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  /  ( Y  -  X ) )  < 
E  <->  ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t )  -  ( F `  C )
)  _d t )  <  ( ( Y  -  X )  x.  E ) ) )
214209, 213mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( ( abs `  S. ( X (,) Y ) ( ( F `  t
)  -  ( F `
 C ) )  _d t )  / 
( Y  -  X
) )  <  E
)
215122, 214eqbrtrd 4192 1  |-  ( (
ph  /\  X  <  Y )  ->  ( abs `  ( ( ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  / 
( Y  -  X
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) )  <  E
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   [,]cicc 10875   abscabs 11994   ↾t crest 13603   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658    CnP ccnp 17243   vol
*covol 19312   volcvol 19313   L ^1cibl 19462   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  ftc1lem5  19877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515
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