Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgless 23389
 Description: Expand the integral of a nonnegative function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgless.1 (𝜑𝐴𝐵)
itgless.2 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
itgless.3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
itgless.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
itgless.5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgless (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgless
StepHypRef Expression
1 itgless.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 itgss2 23385 . . 3 (𝐴𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
4 itgless.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
5 iblmbf 23340 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
7 itgless.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
86, 7mbfdm2 23211 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
91sselda 3568 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
109, 7syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
11 0re 9919 . . . . 5 0 ∈ ℝ
12 ifcl 4080 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
1310, 11, 12sylancl 693 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
14 eldifn 3695 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
1514adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
1615iffalsed 4047 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 0)
17 iftrue 4042 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
1817mpteq2ia 4668 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) = (𝑥𝐴𝐶)
19 itgless.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
201, 19, 7, 4iblss 23377 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
2118, 20syl5eqel 2692 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
221, 8, 13, 16, 21iblss2 23378 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0)) ∈ 𝐿1)
237, 11, 12sylancl 693 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℝ)
247leidd 10473 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝐶)
25 itgless.4 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 0 ≤ 𝐶)
26 breq1 4586 . . . . 5 (𝐶 = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) → (𝐶𝐶 ↔ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
27 breq1 4586 . . . . 5 (0 = if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) → (0 ≤ 𝐶 ↔ if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶))
2826, 27ifboth 4074 . . . 4 ((𝐶𝐶 ∧ 0 ≤ 𝐶) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
2924, 25, 28syl2anc 691 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) ≤ 𝐶)
3022, 4, 23, 7, 29itgle 23382 . 2 (𝜑 → ∫𝐵if(𝑥𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
313, 30eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 ≤ ∫𝐵𝐶 d𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  volcvol 23039  MblFncmbf 23189  𝐿1cibl 23192  ∫citg 23193 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-xmet 19560  df-met 19561  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator