MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Unicode version

Theorem ine0 9886
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9457 . . . 4  |-  1  =/=  0
21neii 2649 . . 3  |-  -.  1  =  0
3 oveq2 6203 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
4 ax-icn 9447 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54mul01i 9665 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
63, 5syl6req 2510 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
76oveq1d 6210 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
8 ax-1cn 9446 . . . . 5  |-  1  e.  CC
98addid2i 9663 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10 ax-i2m1 9456 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
117, 9, 103eqtr3g 2516 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
122, 11mto 176 . 2  |-  -.  _i  =  0
1312neir 2650 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    =/= wne 2645  (class class class)co 6195   0cc0 9388   1c1 9389   _ici 9390    + caddc 9391    x. cmul 9393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-ltxr 9529
This theorem is referenced by:  inelr  10418  2muline0  10655  irec  12077  iexpcyc  12082  imre  12710  reim  12711  crim  12717  cjreb  12725  cnpart  12842  tanval2  13530  tanval3  13531  efival  13549  sinhval  13551  retanhcl  13556  tanhlt1  13557  tanhbnd  13558  itgz  21386  ibl0  21392  iblcnlem1  21393  itgcnlem  21395  iblss  21410  iblss2  21411  itgss  21417  itgeqa  21419  iblconst  21423  iblabsr  21435  iblmulc2  21436  itgsplit  21441  dvsincos  21581  efeq1  22113  tanregt0  22123  efif1olem4  22129  eflogeq  22178  cxpsqrlem  22275  root1eq1  22321  ang180lem1  22333  ang180lem2  22334  ang180lem3  22335  atandm2  22400  2efiatan  22441  atantan  22446  dvatan  22458  atantayl2  22461  log2cnv  22467  iblmulc2nc  28600  ftc1anclem6  28615  proot1ex  29712  sinh-conventional  31383
  Copyright terms: Public domain W3C validator