MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Unicode version

Theorem ine0 9988
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9557 . . . 4  |-  1  =/=  0
21neii 2666 . . 3  |-  -.  1  =  0
3 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
4 ax-icn 9547 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54mul01i 9765 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
63, 5syl6req 2525 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
76oveq1d 6297 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
8 ax-1cn 9546 . . . . 5  |-  1  e.  CC
98addid2i 9763 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10 ax-i2m1 9556 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
117, 9, 103eqtr3g 2531 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
122, 11mto 176 . 2  |-  -.  _i  =  0
1312neir 2667 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    =/= wne 2662  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489   _ici 9490    + caddc 9491    x. cmul 9493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  inelr  10522  2muline0  10759  irec  12231  iexpcyc  12236  imre  12900  reim  12901  crim  12907  cjreb  12915  cnpart  13032  tanval2  13725  tanval3  13726  efival  13744  sinhval  13746  retanhcl  13751  tanhlt1  13752  tanhbnd  13753  itgz  21922  ibl0  21928  iblcnlem1  21929  itgcnlem  21931  iblss  21946  iblss2  21947  itgss  21953  itgeqa  21955  iblconst  21959  iblabsr  21971  iblmulc2  21972  itgsplit  21977  dvsincos  22117  efeq1  22649  tanregt0  22659  efif1olem4  22665  eflogeq  22714  cxpsqrtlem  22811  root1eq1  22857  ang180lem1  22869  ang180lem2  22870  ang180lem3  22871  atandm2  22936  2efiatan  22977  atantan  22982  dvatan  22994  atantayl2  22997  log2cnv  23003  iblmulc2nc  29657  ftc1anclem6  29672  proot1ex  30766  iblsplit  31284  sinh-conventional  32214
  Copyright terms: Public domain W3C validator