MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 9401
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 8992 . . . 4  |-  1  =/=  0
2 df-ne 2552 . . . 4  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
31, 2mpbi 200 . . 3  |-  -.  1  =  0
4 oveq2 6028 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8982 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 9188 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6req 2436 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
87oveq1d 6035 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
9 ax-1cn 8981 . . . . 5  |-  1  e.  CC
109addid2i 9186 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
11 ax-i2m1 8991 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
128, 10, 113eqtr3g 2442 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
133, 12mto 169 . 2  |-  -.  _i  =  0
14 df-ne 2552 . 2  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
1513, 14mpbir 201 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1649    =/= wne 2550  (class class class)co 6020   0cc0 8923   1c1 8924   _ici 8925    + caddc 8926    x. cmul 8928
This theorem is referenced by:  inelr  9922  irec  11407  iexpcyc  11412  imre  11840  reim  11841  crim  11847  cjreb  11855  imval2  11883  cnpart  11972  sinf  12652  tanval2  12661  tanval3  12662  sinneg  12674  efival  12680  sinhval  12682  retanhcl  12687  tanhlt1  12688  tanhbnd  12689  sinadd  12692  itgz  19539  ibl0  19545  iblcnlem1  19546  itgcnlem  19548  iblss  19563  iblss2  19564  itgss  19570  itgeqa  19572  iblconst  19576  iblabsr  19588  iblmulc2  19589  itgsplit  19594  dvmptim  19723  dvsincos  19732  sincn  20227  sineq0  20296  efeq1  20298  tanregt0  20308  efif1olem4  20314  eflogeq  20363  cxpsqrlem  20460  root1eq1  20506  ang180lem1  20518  ang180lem2  20519  ang180lem3  20520  atandm2  20584  sinasin  20596  2efiatan  20625  tanatan  20626  atantan  20630  dvatan  20642  atantayl2  20645  log2cnv  20651  iblmulc2nc  25970  proot1ex  27189  sinh-conventional  27828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-ltxr 9058
  Copyright terms: Public domain W3C validator