MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Unicode version

Theorem ine0 9910
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9472 . . . 4  |-  1  =/=  0
21neii 2581 . . 3  |-  -.  1  =  0
3 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
4 ax-icn 9462 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54mul01i 9681 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
63, 5syl6req 2440 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
76oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
8 ax-1cn 9461 . . . . 5  |-  1  e.  CC
98addid2i 9679 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10 ax-i2m1 9471 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
117, 9, 103eqtr3g 2446 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
122, 11mto 176 . 2  |-  -.  _i  =  0
1312neir 2582 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399    =/= wne 2577  (class class class)co 6196   0cc0 9403   1c1 9404   _ici 9405    + caddc 9406    x. cmul 9408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-ltxr 9544
This theorem is referenced by:  inelr  10442  2muline0  10680  irec  12170  iexpcyc  12175  imre  12943  reim  12944  crim  12950  cjreb  12958  cnpart  13075  tanval2  13870  tanval3  13871  efival  13889  sinhval  13891  retanhcl  13896  tanhlt1  13897  tanhbnd  13898  itgz  22272  ibl0  22278  iblcnlem1  22279  itgcnlem  22281  iblss  22296  iblss2  22297  itgss  22303  itgeqa  22305  iblconst  22309  iblabsr  22321  iblmulc2  22322  itgsplit  22327  dvsincos  22467  efeq1  23001  tanregt0  23011  efif1olem4  23017  eflogeq  23074  cxpsqrtlem  23170  root1eq1  23216  ang180lem1  23259  ang180lem2  23260  ang180lem3  23261  atandm2  23324  2efiatan  23365  atantan  23370  dvatan  23382  atantayl2  23385  log2cnv  23391  logi  29287  iexpire  29288  iblmulc2nc  30246  ftc1anclem6  30261  proot1ex  31329  iblsplit  31931  sinh-conventional  33469
  Copyright terms: Public domain W3C validator