MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Unicode version

Theorem ine0 9776
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9347 . . . 4  |-  1  =/=  0
21neii 2608 . . 3  |-  -.  1  =  0
3 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
4 ax-icn 9337 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54mul01i 9555 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
63, 5syl6req 2490 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
76oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
8 ax-1cn 9336 . . . . 5  |-  1  e.  CC
98addid2i 9553 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10 ax-i2m1 9346 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
117, 9, 103eqtr3g 2496 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
122, 11mto 176 . 2  |-  -.  _i  =  0
1312neir 2609 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1364    =/= wne 2604  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279   _ici 9280    + caddc 9281    x. cmul 9283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419
This theorem is referenced by:  inelr  10308  2muline0  10545  irec  11961  iexpcyc  11966  imre  12593  reim  12594  crim  12600  cjreb  12608  cnpart  12725  tanval2  13413  tanval3  13414  efival  13432  sinhval  13434  retanhcl  13439  tanhlt1  13440  tanhbnd  13441  itgz  21217  ibl0  21223  iblcnlem1  21224  itgcnlem  21226  iblss  21241  iblss2  21242  itgss  21248  itgeqa  21250  iblconst  21254  iblabsr  21266  iblmulc2  21267  itgsplit  21272  dvsincos  21412  efeq1  21944  tanregt0  21954  efif1olem4  21960  eflogeq  22009  cxpsqrlem  22106  root1eq1  22152  ang180lem1  22164  ang180lem2  22165  ang180lem3  22166  atandm2  22231  2efiatan  22272  atantan  22277  dvatan  22289  atantayl2  22292  log2cnv  22298  iblmulc2nc  28382  ftc1anclem6  28397  proot1ex  29494  sinh-conventional  30915
  Copyright terms: Public domain W3C validator