MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 9231
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 8822 . . . 4  |-  1  =/=  0
2 df-ne 2461 . . . 4  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
31, 2mpbi 199 . . 3  |-  -.  1  =  0
4 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8812 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 9018 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6req 2345 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
87oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
9 ax-1cn 8811 . . . . 5  |-  1  e.  CC
109addid2i 9016 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
11 ax-i2m1 8821 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
128, 10, 113eqtr3g 2351 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
133, 12mto 167 . 2  |-  -.  _i  =  0
14 df-ne 2461 . 2  |-  ( _i  =/=  0  <->  -.  _i  =  0 )
1513, 14mpbir 200 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1632    =/= wne 2459  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758
This theorem is referenced by:  inelr  9752  irec  11218  iexpcyc  11223  imre  11609  reim  11610  crim  11616  cjreb  11624  imval2  11652  cnpart  11741  sinf  12420  tanval2  12429  tanval3  12430  sinneg  12442  efival  12448  sinhval  12450  retanhcl  12455  tanhlt1  12456  tanhbnd  12457  sinadd  12460  itgz  19151  ibl0  19157  iblcnlem1  19158  itgcnlem  19160  iblss  19175  iblss2  19176  itgss  19182  itgeqa  19184  iblconst  19188  iblabsr  19200  iblmulc2  19201  itgsplit  19206  dvmptim  19335  dvsincos  19344  sincn  19836  sineq0  19905  efeq1  19907  tanregt0  19917  efif1olem4  19923  eflogeq  19971  cxpsqrlem  20065  root1eq1  20111  ang180lem1  20123  ang180lem2  20124  ang180lem3  20125  atandm2  20189  sinasin  20201  2efiatan  20230  tanatan  20231  atantan  20235  dvatan  20247  atantayl2  20250  log2cnv  20256  iblmulc2nc  25015  proot1ex  27622  sinh-conventional  28462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator