MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ine0 Structured version   Unicode version

Theorem ine0 9998
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 9564 . . . 4  |-  1  =/=  0
21neii 2642 . . 3  |-  -.  1  =  0
3 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
4 ax-icn 9554 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
54mul01i 9773 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
63, 5syl6req 2501 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
76oveq1d 6296 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
8 ax-1cn 9553 . . . . 5  |-  1  e.  CC
98addid2i 9771 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
10 ax-i2m1 9563 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
117, 9, 103eqtr3g 2507 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
122, 11mto 176 . 2  |-  -.  _i  =  0
1312neir 2643 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    =/= wne 2638  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496   _ici 9497    + caddc 9498    x. cmul 9500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636
This theorem is referenced by:  inelr  10532  2muline0  10769  irec  12246  iexpcyc  12251  imre  12920  reim  12921  crim  12927  cjreb  12935  cnpart  13052  tanval2  13745  tanval3  13746  efival  13764  sinhval  13766  retanhcl  13771  tanhlt1  13772  tanhbnd  13773  itgz  22060  ibl0  22066  iblcnlem1  22067  itgcnlem  22069  iblss  22084  iblss2  22085  itgss  22091  itgeqa  22093  iblconst  22097  iblabsr  22109  iblmulc2  22110  itgsplit  22115  dvsincos  22255  efeq1  22788  tanregt0  22798  efif1olem4  22804  eflogeq  22858  cxpsqrtlem  22955  root1eq1  23001  ang180lem1  23013  ang180lem2  23014  ang180lem3  23015  atandm2  23080  2efiatan  23121  atantan  23126  dvatan  23138  atantayl2  23141  log2cnv  23147  iblmulc2nc  30055  ftc1anclem6  30070  proot1ex  31137  iblsplit  31655  sinh-conventional  32868
  Copyright terms: Public domain W3C validator