Theorem dvsincos 23548

Description: Derivative of the sine and cosine functions. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dvsincos	⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Proof of Theorem dvsincos

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnelprrecn 9908	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
3		ax-icn 9874	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
5		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6	4, 5	mulcld 9939	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
7		efcl 14652	. . . . . . . 8 ⊢ ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
9		ine0 10344	. . . . . . . 8 ⊢ i ≠ 0
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ≠ 0)
11	8, 4, 10	divcld 10680	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
12		negicn 10161	. . . . . . . . . 10 ⊢ -i ∈ ℂ
13		mulcl 9899	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
14	12, 5, 13	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-i · 𝑥) ∈ ℂ)
15		efcl 14652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ)
17	16, 4, 10	divcld 10680	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
18	17	negcld 10258	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((exp‘(-i · 𝑥)) / i) ∈ ℂ)
19	11, 18	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) ∈ ℂ)
20	8, 16	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
21	8, 4	mulcld 9939	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
22		efcl 14652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
24		1cnd 9935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
25	2	dvmptid 23526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
26	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → i ∈ ℂ)
27	2, 5, 24, 25, 26	dvmptcmul 23533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
28	3	mulid1i 9921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
29	28	mpteq2i 4669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
30	27, 29	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
31		eff 14651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
33	32	feqmptd 6159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
34	33	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
35		dvef 23547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ D exp) = exp
36	35, 33	syl5eq 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D exp) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
37	34, 36	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
38		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
39	2, 2, 6, 4, 23, 23, 30, 37, 38, 38	dvmptco 23541	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
40	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → i ≠ 0)
41	2, 8, 21, 39, 26, 40	dvmptdivc 23534	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)))
42	8, 4, 10	divcan4d 10686	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i) = (exp‘(i · 𝑥)))
43	42	mpteq2dva 4672	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
44	41, 43	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥))))
45		mulcl 9899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
46	16, 12, 45	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) ∈ ℂ)
47	46, 4, 10	divcld 10680	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) ∈ ℂ)
48	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ∈ ℂ)
49	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → -i ∈ ℂ)
50	2, 5, 24, 25, 49	dvmptcmul 23533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)))
51	12	mulid1i 9921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-i · 1) = -i
52	51	mpteq2i 4669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i)
53	50, 52	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -i))
54		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (-i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(-i · 𝑥)))
55	2, 2, 14, 48, 23, 23, 53, 37, 54, 54	dvmptco 23541	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)))
56	2, 16, 46, 55, 26, 40	dvmptdivc 23534	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
57	2, 17, 47, 56	dvmptneg 23535	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)))
58	46, 4, 10	divneg2d 10694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i))
59	3, 9	negne0i 10235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -i ≠ 0
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -i ≠ 0)
61	16, 48, 60	divcan4d 10686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / -i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
62	58, 61	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i) = (exp‘(-i · 𝑥)))
63	62	mpteq2dva 4672	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) / i)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
64	57, 63	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ -((exp‘(-i · 𝑥)) / i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(-i · 𝑥))))
65	2, 11, 8, 44, 18, 16, 64	dvmptadd 23529	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥)))))
66		2cnd 10970	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
67		2ne0 10990	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
68	67	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
69	2, 19, 20, 65, 66, 68	dvmptdivc 23534	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
70		df-sin 14639	. . . . . 6 ⊢ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
71	8, 16	subcld 10271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ)
72		2cnd 10970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
73	67	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 2 ≠ 0)
74	71, 4, 72, 10, 73	divdiv1d 10711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)))
75		2cn 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
76	3, 75	mulcomi 9925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 2) = (2 · i)
77	76	oveq2i 6560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (i · 2)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))
78	74, 77	syl6eq 2660	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
79	8, 16, 4, 10	divsubdird 10719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
80	11, 17	negsubd 10277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
81	79, 80	eqtr4d 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)))
82	81	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
83	78, 82	eqtr3d 2646	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)) = ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))
84	83	mpteq2dva 4672	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
85	70, 84	syl5eq 2656	. . . . 5 ⊢ (⊤ → sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2)))
86	85	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) / i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) / i)) / 2))))
87		df-cos 14640	. . . . 5 ⊢ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2)))
89	69, 86, 88	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D sin) = cos)
90	21, 46	addcld 9938	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) ∈ ℂ)
91	2, 8, 21, 39, 16, 46, 55	dvmptadd 23529	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i))))
92	2, 20, 90, 91, 66, 68	dvmptdivc 23534	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
93	88	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((exp‘(i · 𝑥)) + (exp‘(-i · 𝑥))) / 2))))
94	71, 4, 10	divcld 10680	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) ∈ ℂ)
95	94, 72, 73	divnegd 10693	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
96		sinval 14691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
97	96	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / (2 · i)))
98	97, 78	eqtr4d 2647	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
99	98	negeqd 10154	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = -((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
100	3	negnegi 10230	. . . . . . . . . 10 ⊢ --i = i
101	100	oveq2i 6560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i)
102		mulneg2 10346	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
103	71, 12, 102	sylancl 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · --i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
104	101, 103	syl5eqr 2658	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
105		mulcl 9899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
106	16, 3, 105	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
107	21, 106	negsubd 10277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
108		mulneg2 10346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((exp‘(-i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
109	16, 3, 108	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i) = -((exp‘(-i · 𝑥)) · i))
110	109	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + -((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
111	8, 16, 4	subdird 10366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i) = (((exp‘(i · 𝑥)) · i) − ((exp‘(-i · 𝑥)) · i)))
112	107, 110, 111	3eqtr4d 2654	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · i))
113	71, 4, 10	divrecd 10683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)))
114		irec 12826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / i) = -i
115	114	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · (1 / i)) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i)
116	113, 115	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = (((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
117	116	negeqd 10154	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) · -i))
118	104, 112, 117	3eqtr4d 2654	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) = -(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i))
119	118	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2) = (-(((exp‘(i · 𝑥)) − (exp‘(-i · 𝑥))) / i) / 2))
120	95, 99, 119	3eqtr4d 2654	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(sin‘𝑥) = ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2))
121	120	mpteq2dva 4672	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((exp‘(i · 𝑥)) · i) + ((exp‘(-i · 𝑥)) · -i)) / 2)))
122	92, 93, 121	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))
123	89, 122	jca 553	. 2 ⊢ (⊤ → ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥))))
124	123	trud 1484	1 ⊢ ((ℂ D sin) = cos ∧ (ℂ D cos) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(sin‘𝑥)))

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {cpr 4127   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  expce 14631  sincsin 14633  cosccos 14634   D cdv 23433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by:  dvsin  23549  dvcos  23550