MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addid2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addid2i 10103
Description: 0 is a left identity for addition. (Contributed by NM, 3-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mul.1 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addid2i (0 + 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem addid2i
StepHypRef Expression
1 mul.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addid2 10098 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + 𝐴) = 𝐴)
31, 2ax-mp 5 1 (0 + 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  ine0  10344  muleqadd  10550  inelr  10887  0p1e1  11009  num0h  11385  nummul1c  11438  decrmac  11453  decmul1  11461  decmul1OLD  11462  fz0tp  12309  fz0to4untppr  12311  fzo0to3tp  12421  cats1fvn  13454  rei  13744  imi  13745  ef01bndlem  14753  gcdaddmlem  15083  dec5dvds2  15607  2exp16  15635  43prm  15667  83prm  15668  139prm  15669  163prm  15670  317prm  15671  631prm  15672  1259lem1  15676  1259lem2  15677  1259lem3  15678  1259lem4  15679  1259lem5  15680  2503lem1  15682  2503lem2  15683  2503lem3  15684  2503prm  15685  4001lem1  15686  4001lem2  15687  4001lem3  15688  4001prm  15690  frgpnabllem1  18099  pcoass  22632  dvradcnv  23979  efhalfpi  24027  sinq34lt0t  24065  efifo  24097  logm1  24139  argimgt0  24162  ang180lem4  24342  1cubr  24369  asin1  24421  atanlogsublem  24442  dvatan  24462  log2ublem3  24475  log2ub  24476  basellem9  24615  cht2  24698  log2sumbnd  25033  ax5seglem7  25615  ex-fac  26700  dirkertrigeqlem1  38991  dirkertrigeqlem3  38993  fourierdlem103  39102  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fouriersw  39124  fmtno5lem1  40003  fmtno5lem2  40004  fmtno5lem4  40006  fmtno4prmfac  40022  fmtno5faclem2  40030  fmtno5faclem3  40031  fmtno5fac  40032  139prmALT  40049  127prm  40053  2exp11  40055
  Copyright terms: Public domain W3C validator