MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2efiatan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2efiatan 24445
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2efiatan (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))

Proof of Theorem 2efiatan
StepHypRef Expression
1 atanval 24411 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
21oveq2d 6565 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3 2cn 10968 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
5 ax-icn 9874 . . . . . 6 i ∈ ℂ
65a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
7 atancl 24408 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
84, 6, 7mulassd 9942 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
9 halfcl 11134 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
105, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (i / 2) ∈ ℂ
113, 5, 10mulassi 9928 . . . . . . . 8 ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
123, 5, 10mul12i 10110 . . . . . . . 8 (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
13 2ne0 10990 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
145, 3, 13divcan2i 10647 . . . . . . . . . 10 (2 · (i / 2)) = i
1514oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
16 ixi 10535 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
1715, 16eqtri 2632 . . . . . . . 8 (i · (2 · (i / 2))) = -1
1811, 12, 173eqtri 2636 . . . . . . 7 ((2 · i) · (i / 2)) = -1
1918oveq1i 6559 . . . . . 6 (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
20 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
21 atandm2 24404 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2221simp1bi 1069 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
23 mulcl 9899 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
245, 22, 23sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 subcl 10159 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2620, 24, 25sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2721simp2bi 1070 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2826, 27logcld 24121 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
29 addcl 9897 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3020, 24, 29sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3121simp3bi 1071 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3230, 31logcld 24121 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3328, 32subcld 10271 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
3433mulm1d 10361 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
3519, 34syl5eq 2656 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
36 2mulicn 11132 . . . . . . 7 (2 · i) ∈ ℂ
3736a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
3810a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
3937, 38, 33mulassd 9942 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
4028, 32negsubdi2d 10287 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4135, 39, 403eqtr3d 2652 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
422, 8, 413eqtr3d 2652 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
4342fveq2d 6107 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
44 efsub 14669 . . 3 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
4532, 28, 44syl2anc 691 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
46 eflog 24127 . . . . 5 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
4730, 31, 46syl2anc 691 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
48 eflog 24127 . . . . 5 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
4926, 27, 48syl2anc 691 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
5047, 49oveq12d 6567 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
51 negsub 10208 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
525, 22, 51sylancr 694 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + -𝐴) = (i − 𝐴))
536mulid1d 9936 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 1) = i)
5416oveq1i 6559 . . . . . . . . 9 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
556, 6, 22mulassd 9942 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
5622mulm1d 10361 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
5754, 55, 563eqtr3a 2668 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
5853, 57oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = (i + -𝐴))
596, 22, 6pnpcan2d 10309 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i + i) − (𝐴 + i)) = (i − 𝐴))
6052, 58, 593eqtr4d 2654 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6120a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 1 ∈ ℂ)
626, 61, 24adddid 9943 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((i · 1) + (i · (i · 𝐴))))
6362timesd 11152 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) = (i + i))
6463oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) − (𝐴 + i)) = ((i + i) − (𝐴 + i)))
6560, 62, 643eqtr4d 2654 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 + (i · 𝐴))) = ((2 · i) − (𝐴 + i)))
666, 61, 24subdid 10365 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))))
6753, 57oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i − -𝐴))
68 subneg 10209 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
695, 22, 68sylancr 694 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (i − -𝐴) = (i + 𝐴))
7067, 69eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 1) − (i · (i · 𝐴))) = (i + 𝐴))
71 addcom 10101 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
725, 22, 71sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (i + 𝐴) = (𝐴 + i))
7366, 70, 723eqtrd 2648 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (1 − (i · 𝐴))) = (𝐴 + i))
7465, 73oveq12d 6567 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)))
75 ine0 10344 . . . . . 6 i ≠ 0
7675a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → i ≠ 0)
7730, 26, 6, 27, 76divcan5d 10706 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (1 + (i · 𝐴))) / (i · (1 − (i · 𝐴)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))))
78 addcl 9897 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
7922, 5, 78sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ∈ ℂ)
80 subneg 10209 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
8122, 5, 80sylancl 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) = (𝐴 + i))
82 atandm 24403 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
8382simp2bi 1070 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ≠ -i)
84 negicn 10161 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
85 subeq0 10186 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) = 0 ↔ 𝐴 = -i))
8685necon3bid 2826 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ) → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8722, 84, 86sylancl 693 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 − -i) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ -i))
8883, 87mpbird 246 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 − -i) ≠ 0)
8981, 88eqnetrrd 2850 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴 + i) ≠ 0)
9037, 79, 79, 89divsubdird 10719 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) − (𝐴 + i)) / (𝐴 + i)) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9174, 77, 903eqtr3d 2652 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) / (1 − (i · 𝐴))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))))
9279, 89dividd 10678 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((𝐴 + i) / (𝐴 + i)) = 1)
9392oveq2d 6565 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) / (𝐴 + i)) − ((𝐴 + i) / (𝐴 + i))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9450, 91, 933eqtrd 2648 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) / (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
9543, 45, 943eqtrd 2648 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = (((2 · i) / (𝐴 + i)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  expce 14631  logclog 24105  arctancatan 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-atan 24394
This theorem is referenced by:  tanatan  24446
  Copyright terms: Public domain W3C validator