Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsub 14669
 Description: Difference of exponents law for exponential function. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
efsub ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))

Proof of Theorem efsub
StepHypRef Expression
1 efcl 14652 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
2 efcl 14652 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ∈ ℂ)
3 efne0 14666 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘𝐵) ≠ 0)
4 divrec 10580 . . . 4 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
51, 2, 3, 4syl3an 1360 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
653anidm23 1377 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))))
7 efcan 14665 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵)) = 1)
87eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵)))
9 negcl 10160 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
10 efcl 14652 . . . . . . . 8 (-𝐵 ∈ ℂ → (exp‘-𝐵) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (exp‘-𝐵) ∈ ℂ)
12 ax-1cn 9873 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
13 divmul2 10568 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
1412, 13mp3an1 1403 . . . . . . 7 (((exp‘-𝐵) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝐵) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
1511, 2, 3, 14syl12anc 1316 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵) ↔ 1 = ((exp‘𝐵) · (exp‘-𝐵))))
168, 15mpbird 246 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝐵)) = (exp‘-𝐵))
1716oveq2d 6565 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
1817adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
19 efadd 14663 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
209, 19sylan2 490 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = ((exp‘𝐴) · (exp‘-𝐵)))
2118, 20eqtr4d 2647 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((exp‘𝐴) · (1 / (exp‘𝐵))) = (exp‘(𝐴 + -𝐵)))
22 negsub 10208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
2322fveq2d 6107 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴 + -𝐵)) = (exp‘(𝐴𝐵)))
246, 21, 233eqtrrd 2649 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (exp‘(𝐴𝐵)) = ((exp‘𝐴) / (exp‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  expce 14631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637 This theorem is referenced by:  efeq1  24079  efif1olem4  24095  relogdiv  24143  eflogeq  24152  efiarg  24157  logneg2  24165  logdiv2  24167  logcnlem4  24191  efopn  24204  ang180lem1  24339  efiatan  24439  2efiatan  24445  atantan  24450  birthdaylem2  24479  gamcvg2lem  24585  efchtdvds  24685  bposlem9  24817  iprodgam  30881
 Copyright terms: Public domain W3C validator