Theorem mulm1d 10361

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulm1 10350	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   · cmul 9820  -cneg 10146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  recextlem1  10536  ofnegsub  10895  modnegd  12587  modsumfzodifsn  12605  m1expcl2  12744  remullem  13716  sqrtneglem  13855  iseraltlem2  14261  iseraltlem3  14262  fsumneg  14361  incexclem  14407  incexc  14408  risefallfac  14594  efi4p  14706  cosadd  14734  absefib  14767  efieq1re  14768  pwp1fsum  14952  bitsinv1lem  15001  bezoutlem1  15094  pythagtriplem4  15362  negcncf  22529  mbfneg  23223  itg1sub  23282  itgcnlem  23362  i1fibl  23380  itgitg1  23381  itgmulc2  23406  dvmptneg  23535  dvlipcn  23561  lhop2  23582  logneg  24138  lognegb  24140  tanarg  24169  logtayl  24206  logtayl2  24208  asinlem  24395  asinlem2  24396  asinsin  24419  efiatan2  24444  2efiatan  24445  atandmtan  24447  atantan  24450  atans2  24458  dvatan  24462  basellem5  24611  lgsdir2lem4  24853  gausslemma2dlem5a  24895  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  rpvmasum2  25001  ostth3  25127  smcnlem  26936  ipval2  26946  dipsubdir  27087  his2sub  27333  qqhval2lem  29353  fwddifnp1  31442  itgmulc2nc  32648  ftc1anclem5  32659  areacirclem1  32670  mzpsubmpt  36324  rmym1  36518  rngunsnply  36762  expgrowth  37556  isumneg  38669  climneg  38677  stoweidlem22  38915  stirlinglem5  38971  fourierdlem97  39096  sqwvfourb  39122  etransclem46  39173  sharhght  39703  sigaradd  39704  altgsumbcALT  41924