Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itgmulc2.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
2 | | itgmulc2.2 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) |
3 | | itgmulc2.3 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈
𝐿1) |
4 | | iblmbf 23340 |
. . . 4
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn) |
5 | 3, 4 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn) |
6 | 1, 2, 5 | mbfmulc2 23236 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn) |
7 | | ifan 4084 |
. . . . . 6
⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) |
8 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) |
9 | 5, 2 | mbfmptcl 23210 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) |
10 | 8, 9 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) |
11 | 10 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ) |
12 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈
ℤ) |
13 | 12 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ) |
14 | | ax-icn 9874 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ i ∈
ℂ |
15 | | ine0 10344 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ i ≠
0 |
16 | | expclz 12747 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ∈
ℂ) |
17 | 14, 15, 16 | mp3an12 1406 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℤ →
(i↑𝑘) ∈
ℂ) |
18 | 13, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (i↑𝑘) ∈ ℂ) |
19 | | expne0i 12754 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0) |
20 | 14, 15, 19 | mp3an12 1406 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℤ →
(i↑𝑘) ≠
0) |
21 | 13, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (i↑𝑘) ≠ 0) |
22 | 11, 18, 21 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)) ∈ ℂ) |
23 | 22 | recld 13782 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) |
24 | | 0re 9919 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
ℝ |
25 | | ifcl 4080 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((ℜ‘((𝐶
· 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0
∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ) |
26 | 23, 24, 25 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ) |
27 | 26 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈
ℝ*) |
28 | | max1 11890 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤
(ℜ‘((𝐶 ·
𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) |
29 | 24, 23, 28 | sylancr 694 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤
(ℜ‘((𝐶 ·
𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) |
30 | | elxrge0 12152 |
. . . . . . . . 9
⊢ (if(0
≤ (ℜ‘((𝐶
· 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0
≤ (ℜ‘((𝐶
· 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0
≤ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) |
31 | 27, 29, 30 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈
(0[,]+∞)) |
32 | | 0e0iccpnf 12154 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
(0[,]+∞) |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈
(0[,]+∞)) |
34 | 31, 33 | ifclda 4070 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈
(0[,]+∞)) |
35 | 34 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ∈
(0[,]+∞)) |
36 | 7, 35 | syl5eqel 2692 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ∈
(0[,]+∞)) |
37 | | eqid 2610 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤
(ℜ‘((𝐶 ·
𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) |
38 | 36, 37 | fmptd 6292 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))),
0)):ℝ⟶(0[,]+∞)) |
39 | | reex 9906 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℝ
∈ V |
40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ℝ ∈
V) |
41 | 1 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈
ℝ) |
42 | 41 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘𝐶) ∈
ℝ) |
43 | 9 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ) |
44 | 9 | absge0d 14031 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘𝐵)) |
45 | | elrege0 12149 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((abs‘𝐵)
∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘𝐵))) |
46 | 43, 44, 45 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ (0[,)+∞)) |
47 | | 0e0icopnf 12153 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
(0[,)+∞) |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈
(0[,)+∞)) |
49 | 46, 48 | ifclda 4070 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈
(0[,)+∞)) |
50 | 49 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0) ∈
(0[,)+∞)) |
51 | | fconstmpt 5085 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℝ
× {(abs‘𝐶)}) =
(𝑥 ∈ ℝ ↦
(abs‘𝐶)) |
52 | 51 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℝ ×
{(abs‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
(abs‘𝐶))) |
53 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) |
54 | 40, 42, 50, 52, 53 | offval2 6812 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((ℝ ×
{(abs‘𝐶)})
∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) |
55 | | ovif2 6636 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((abs‘𝐶)
· if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) |
56 | 8, 9 | absmuld 14041 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) = ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵))) |
57 | 56 | ifeq1da 4066 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0))) |
58 | 41 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈
ℂ) |
59 | 58 | mul01d 10114 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · 0) =
0) |
60 | 59 | ifeq2d 4055 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
61 | 57, 60 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, ((abs‘𝐶) · (abs‘𝐵)), ((abs‘𝐶) · 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
62 | 55, 61 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) · if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
63 | 62 | mpteq2dv 4673 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((abs‘𝐶) · if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) |
64 | 54, 63 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((ℝ ×
{(abs‘𝐶)})
∘𝑓 · (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) |
65 | 64 | fveq2d 6107 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 ·
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))) |
66 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)) |
67 | 50, 66 | fmptd 6292 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵),
0)):ℝ⟶(0[,)+∞)) |
68 | 2, 3 | iblabs 23401 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈
𝐿1) |
69 | 43, 44 | iblpos 23365 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔
((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈
ℝ))) |
70 | 68, 69 | mpbid 221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ MblFn ∧
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈
ℝ)) |
71 | 70 | simprd 478 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))) ∈
ℝ) |
72 | | abscl 13866 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 ∈ ℂ →
(abs‘𝐶) ∈
ℝ) |
73 | | absge0 13875 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐶 ∈ ℂ → 0 ≤
(abs‘𝐶)) |
74 | | elrege0 12149 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((abs‘𝐶)
∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(abs‘𝐶))) |
75 | 72, 73, 74 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶 ∈ ℂ →
(abs‘𝐶) ∈
(0[,)+∞)) |
76 | 1, 75 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈
(0[,)+∞)) |
77 | 67, 71, 76 | itg2mulc 23320 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(∫2‘((ℝ × {(abs‘𝐶)}) ∘𝑓 ·
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))))) |
78 | 65, 77 | eqtr3d 2646 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) = ((abs‘𝐶) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0))))) |
79 | 41, 71 | remulcld 9949 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐶) ·
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘𝐵), 0)))) ∈
ℝ) |
80 | 78, 79 | eqeltrd 2688 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ) |
81 | 80 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ) |
82 | 10 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ) |
83 | 82 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈
ℝ*) |
84 | 10 | absge0d 14031 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
85 | | elxrge0 12152 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((abs‘(𝐶
· 𝐵)) ∈
(0[,]+∞) ↔ ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤
(abs‘(𝐶 ·
𝐵)))) |
86 | 83, 84, 85 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ (0[,]+∞)) |
87 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ∈
(0[,]+∞)) |
88 | 86, 87 | ifclda 4070 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈
(0[,]+∞)) |
89 | 88 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈
(0[,]+∞)) |
90 | | eqid 2610 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
91 | 89, 90 | fmptd 6292 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)),
0)):ℝ⟶(0[,]+∞)) |
92 | 91 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)),
0)):ℝ⟶(0[,]+∞)) |
93 | 22 | releabsd 14038 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))) |
94 | 11, 18, 21 | absdivd 14042 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘)))) |
95 | | elfznn0 12302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈
ℕ0) |
96 | 95 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ0) |
97 | | absexp 13892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((i
∈ ℂ ∧ 𝑘
∈ ℕ0) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘)) |
98 | 14, 96, 97 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = ((abs‘i)↑𝑘)) |
99 | | absi 13874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(abs‘i) = 1 |
100 | 99 | oveq1i 6559 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((abs‘i)↑𝑘) = (1↑𝑘) |
101 | | 1exp 12751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℤ →
(1↑𝑘) =
1) |
102 | 13, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (1↑𝑘) = 1) |
103 | 100, 102 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘i)↑𝑘) = 1) |
104 | 98, 103 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(i↑𝑘)) = 1) |
105 | 104 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / (abs‘(i↑𝑘))) = ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1)) |
106 | 82 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
107 | 106 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ) |
108 | 107 | div1d 10672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝐶 · 𝐵)) / 1) = (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
109 | 94, 105, 108 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
110 | 93, 109 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
111 | 84 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
112 | | breq1 4586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((ℜ‘((𝐶
· 𝐵) / (i↑𝑘))) = if(0 ≤
(ℜ‘((𝐶 ·
𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → ((ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))) |
113 | | breq1 4586 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (0 = if(0
≤ (ℜ‘((𝐶
· 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) → (0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ↔ if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)))) |
114 | 112, 113 | ifboth 4074 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((ℜ‘((𝐶
· 𝐵) / (i↑𝑘))) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵)) ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
115 | 110, 111,
114 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
116 | | iftrue 4042 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) |
117 | 116 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) |
118 | | iftrue 4042 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
119 | 118 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = (abs‘(𝐶 · 𝐵))) |
120 | 115, 117,
119 | 3brtr4d 4615 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
121 | 120 | ex 449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) |
122 | | 0le0 10987 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ≤
0 |
123 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (¬
𝑥 ∈ 𝐴 → 0 ≤ 0) |
124 | | iffalse 4045 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (¬
𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) = 0) |
125 | | iffalse 4045 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (¬
𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) = 0) |
126 | 123, 124,
125 | 3brtr4d 4615 |
. . . . . . . . 9
⊢ (¬
𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
127 | 121, 126 | pm2.61d1 170 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
128 | 7, 127 | syl5eqbr 4618 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
129 | 128 | ralrimivw 2950 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) |
130 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → ℝ ∈
V) |
131 | 89 | adantlr 747 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0) ∈
(0[,]+∞)) |
132 | | eqidd 2611 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) |
133 | | eqidd 2611 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) |
134 | 130, 36, 131, 132, 133 | ofrfval2 6813 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) |
135 | 129, 134 | mpbird 246 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) |
136 | | itg2le 23312 |
. . . . 5
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤
(ℜ‘((𝐶 ·
𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤
(ℜ‘((𝐶 ·
𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) ∘𝑟 ≤
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(𝑥 ∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))) |
137 | 38, 92, 135, 136 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))) |
138 | | itg2lecl 23311 |
. . . 4
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤
(ℜ‘((𝐶 ·
𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0))) ∈ ℝ ∧
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ≤
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if(𝑥
∈ 𝐴, (abs‘(𝐶 · 𝐵)), 0)))) →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) |
139 | 38, 81, 137, 138 | syl3anc 1318 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...3)) →
(∫2‘(𝑥
∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) |
140 | 139 | ralrimiva 2949 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈
(0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ) |
141 | | eqidd 2611 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) |
142 | | eqidd 2611 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))) = (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))) |
143 | 141, 142,
10 | isibl2 23339 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ 𝐿1 ↔
((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ∧ ∀𝑘 ∈
(0...3)(∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘)))), (ℜ‘((𝐶 · 𝐵) / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ))) |
144 | 6, 140, 143 | mpbir2and 959 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈
𝐿1) |