Theorem div1d 10672

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 10595	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   / cdiv 10563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564

This theorem is referenced by:  zq  11670  divlt1lt  11775  divle1le  11776  nnledivrp  11816  modfrac  12545  iexpcyc  12831  geo2sum2  14444  fallfacfac  14615  bpolysum  14623  sin01gt0  14759  bits0  14988  cncongrcoprm  15222  isprm6  15264  divdenle  15295  qden1elz  15303  pczpre  15390  prmreclem2  15459  mul4sq  15496  psgnunilem4  17740  znidomb  19729  iblcnlem1  23360  itgcnlem  23362  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  aaliou2b  23900  aaliou3lem3  23903  tayl0  23920  logtayl2  24208  root1cj  24297  elogb  24308  logblog  24330  ang180lem4  24342  isosctrlem3  24350  dquartlem1  24378  efrlim  24496  amgmlem  24516  fsumharmonic  24538  lgamgulmlem5  24559  lgamcvg2  24581  1sgm2ppw  24725  logexprlim  24750  perfectlem2  24755  sum2dchr  24799  dchrvmasum2lem  24985  dchrisum0flblem2  24998  dchrisum0lem1  25005  mulog2sumlem2  25024  selbergb  25038  selberg2b  25041  selberg3lem1  25046  selberg3lem2  25047  pntrmax  25053  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem6a  25071  pntrlog2bnd  25073  pntlemk  25095  kbpj  28199  faclimlem1  30882  knoppndvlem17  31689  iblmulc2nc  32645  expgrowth  37556  bccn1  37565  binomcxplemnotnn0  37577  ltdivgt1  38513  0ellimcdiv  38716  sinaover2ne0  38751  dvnxpaek  38832  stoweidlem7  38900  stoweidlem36  38929  stoweidlem42  38935  stoweidlem51  38944  stoweidlem59  38952  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem15  38981  dirkertrigeq  38994  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  etransclem14  39141  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem35  39162  bits0ALTV  40128  perfectALTVlem2  40165  0dig2nn0e  42204  0dig2nn0o  42205  amgmwlem  42357